Rastrear en $H^1(\Omega_1\cup\Omega_2)$ (una pequeña pregunta en la conclusión de mi prueba)

Question

Dejemos que $\Sigma$ una superficie lisa que separa $\Omega_1$ y $\Omega_2$ (conjuntos abiertos y acotados) y que $(q^n_1)_{n\in\mathbb{N}}$ y $(q^n_2)_{n\in\mathbb{N}}$ secuencias en $H^1(\Omega_1)$ y $H^1(\Omega_2)$ respectivamente. Supongamos que $(q^n_1)_{n\in\mathbb{N}}$ convergen a $q_1\in H^1(\Omega_1)$ y $(q^n_2)_{n\in\mathbb{N}}$ convergen a $q_2\in H^1(\Omega_2)$ . A continuación, el trazado sobre $\Sigma$ de cada $q_1^n$ y $q_2^n$ está bien definido, es decir, para todo $n\in\mathbb{N}$ $q_1^n|_\Sigma$ y $q_2^n|_\Sigma$ están bien definidos.

Demuestra lo siguiente:

si ( $\forall n\in\mathbb{N}$ ) $q_1^n|_\Sigma-q_2^n|_\Sigma$ es constante, entonces $q_1|_\Sigma-q_2|_\Sigma$ es constante.

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Mi solución:

utilizando el operador de continuidad de la traza en $H^1(\Omega_1)$ y $H^1(\Omega_2)$ está claro que:

$q_1^n|_\Sigma\rightarrow q_1|_\Sigma$ en $H^{1/2}(\Sigma)$

y

$q_2^n|_\Sigma\rightarrow q_1|_\Sigma$ en $H^{1/2}(\Sigma)$

y entonces, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

$\|q_1^n|_\Sigma-q_2^n|_\Sigma -( q_1|_\Sigma-q_2|_\Sigma)\|_{H^{1/2}(\Sigma)}\leq \|q_1^n|_\Sigma-q_1|_\Sigma\|_{H^{1/2}(\Sigma)}+\|q_2^n|_\Sigma-q_2|_\Sigma\|_{H^{1/2}(\Sigma)}\rightarrow 0$

$\Rightarrow (q_1^n|_\Sigma-q_2^n|_\Sigma) \rightarrow (q_1|_\Sigma-q_2|_\Sigma)$ en $H^1(\Sigma)$ .

pero, por qué $\boldsymbol{ (q_1|_\Sigma-q_2|_\Sigma)}$ es constante? Supongo que está muy claro, pero no lo veo.

Answer 1

Dejemos que $C_n=q_1^n|_\Sigma-q_2^n|_\Sigma$ sea la sucesión de funciones constantes, que como ya han observado, convergen a $q_1|_\Sigma-q_2|_\Sigma$ en $H^{1/2}(\Sigma)$ .

Por lo tanto, $C_n \to q_1|_\Sigma-q_2|_\Sigma$ en $L^2(\Sigma)$ , o de forma equivalente, $$\int_\Sigma |C_n-(q_1|_\Sigma-q_2|_\Sigma)|^2d\Sigma\to 0.\tag{1}$$

Hay algunas formas de demostrar ahora que $q_1|_\Sigma-q_2|_\Sigma$ es constante, por ejemplo, de $(1)$ podemos concluir que existe una subsecuencia $C_{n_k}$ de $C_n$ , de tal manera que $C_{n_k}\to q_1|_\Sigma-q_2|_\Sigma$ a.e..

Sin embargo, $C_{n_k}$ debe converger a.e. a una constante $C$ (porque es una secuencia de funciones constantes), así, $q_1|_\Sigma-q_2|_\Sigma=C$ es constante.