Producto de un módulo completo y un módulo finito

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo noetheriano conmutativo, $I$ -adicalmente completa (y separada) con respecto a un ideal $I \subseteq A$ .

Dejemos que $M$ sea un finito $A$ -y que $N$ ser un $I$ -adicalmente completa $A$ -módulo.

¿Es cierto que $M\otimes_A N$ también es $I$ -¿Adicionalmente completa?

Si $M$ es libre esto está claro. ¿Es cierto en general?

Gracias.

Answer 1

Considere la transformación natural $(-) \otimes N \to \lim_n ((-) \otimes_A N \otimes_A A/I^n)$ de los endofuncionarios de $A$ -. Ambos funtores preservan los colímites finitos, es decir, son li Ambos funtores preservan colímites finitos, es decir, son lineales y exactos por la derecha. Para el de la izquierda esto está claro, y para el de la derecha se deduce del hecho general de que los límites inversos son exactos por la derecha para los sistemas sobreyectivos. Por lo tanto, el lugar donde la transformación natural es un isomorfismo es cerrado bajo colímites finitos (también se puede escribir esto usando un argumento de cinco lemas, pero es más tedioso). Dado que $N$ se supone que está completa, $A$ se encuentra en el lugar geométrico, por lo que toda presentación finita $A$ -módulo. No necesitamos ese $A$ es completa o que $A$ es noetheriano.

Answer 2

Sea m un módulo fiterado con filtrado`{m(n)} tal que m es completo con respecto al filtrado.Demuestre que todo submódulo de m es completo con respecto al filtrado inducido