Demostrar que no hay números enteros con orden $4$ en el módulo $12$

Question

Demostrar que no hay números enteros con orden $4$ en el módulo $12$

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Esto se da como un hecho obvio sin ninguna prueba en mi libro de texto. Sin embargo, no soy capaz de ver por qué no puede haber ningún número entero cuyo orden sea $4$ en $\mod 12$ . ¿Alguna ayuda? ¡Gracias!

Answer 1

Explícitamente $\mathbb{Z}_{12}^\times=\{\pm 1, \pm 5\}$ y cada una de ellas tiene un orden a lo sumo de 2, por ejemplo $(-5)^2=25\equiv 1\pmod{12}$ .

Answer 2

Utilizando Función de Carmichael ,

$$\lambda(12)=\text{lcm}(\lambda(4),\lambda(3))=\text{lcm}(2,2)=2$$

De hecho, $$\lambda(24)=2$$