¿Fuente del "truco de #% de %#%" para eigenfunctions laplaciano o soluciones de la ecuación de Helmholtz?

Question

Supongamos que una función lisa $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ satisface la ecuación de Helmholtz, el PDE $\Delta f + k^2 f = 0$.

Hace un tiempo alguien me enseñó un truco: definir una función $g:\mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}$ por: $$g(x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}) = f(x_1, \ldots, x_n) \cosh (k x_{n+1})$ $ resulta que $\Delta g = 0$, que $g$ (así, $f$) se puede analizar utilizando herramientas de teoría de la función armónica.

Mi pregunta: ¿este truco tiene un nombre? ¿Es conocida? ¿Puede encontrarse en los libros?

Answer 1

Aquí es un punto de vista sobre este método. Supongamos que tratamos $k$ a sí misma como una coordenada, y realizar una transformada de Fourier con respecto a ella. Esto convierte a la ecuación de Helmholtz $(\Delta+k^2)f=0$ a D'Alembert la ecuación de $(\Delta-\partial_0^2)g=0$. (He tomado $x_0$ a ser el conjugado de a $k$, e $g$ a la correspondiente transformada de Fourier de $f$.) Sobre la definición de $x_{n+1}\equiv i x_0$, esto se convierte en $(\Delta+\partial_{n+1}^2)g=0$ que es equivalente a la forma identificada anteriormente.

La separación de la variable $x_{n+1}$ escrito $g(\mathbf{x},x_{n+1})=f(\mathbf{x})\Phi(x_{n+1})$ a continuación, se obtiene $$\frac{\Delta f}{f}=-\frac{\Phi''}{\Phi}=-k^2$$ where the separation constant is chosen so as to regain the Helmholtz equation. This yields $\Phi(x_{n+1})=\cosh(kx_{n+1})+B\sinh(kx_{n+1})$, generalizing the case of $\Phi(x_{n+1})=\cosh(kx_{n+1})$ dado en la OP.