no se retrae $\mathbb{R}\text{P}^{n-1}$ $\mathbb{R}\text{P}^n$

Question

Tengo que resolver lo siguiente:

Mostrar no se retrae que $\mathbb{R}\text{P}^{n-1}$ $\mathbb{R}\text{P}^n$ $n\geq 2$.

He hecho esto con conocimiento de los grupos de homotopía, mostrando que el $\mathbb{Z}$ no factor a través de $\mathbb{0}$ o $\mathbb{Z}_{2}$. Sin embargo, me gustaría saber ¿hay alguna otra forma de probar que (sin utilizar grupos de homotopía)?

Cualquier ayuda es bienvenida. Gracias de antemano.

Answer 1

Uno puede utilizar el hecho de que $H^*(\mathbb R P^n, \mathbb Z/2) \cong \mathbb Z/2[x]/x^{n+1}$ como un anillo comutativo calificado, donde $x$ es de grado uno. El % de inclusión $\mathbb R P^{n-1} \to \mathbb RP^n$induce un mapa de anillos graduados $\mathbb Z/2[x]/x^{n+1} \to \mathbb Z/2[x]/x^n$. Considerando grupos fundamentales o utilizando la célula estructura uno puede ver fácilmente que $x\mapsto x$, y así que el mapa es el mapa del cociente estándar. Si hubiera una retracción $\mathbb R P^{n} \to \mathbb RP^{n-1}$, luego induciría una sección $\mathbb Z/2[x]/x^{n} \to \mathbb Z/2[x]/x^{n+1}$ del mapa del cociente. Pero todavía tendríamos $x\mapsto x$ y así $0 = x^n \mapsto x^n \neq 0$, una contradicción.