¿Hay superficies con más de dos lados?

Question

Estoy viendo un ingenuo introducción a la banda de Möbius, la profesora le pregunta si es posible construir una sola cara de la superficie y, a continuación, ella dice que no es una de estas superficies, es decir, la banda de Möbius. A continuación, ella menciona que algunas superficies tienen dos lados.

También he tenido esta duda al leer Flegg la De la Geometría a la Topología. Por lo tanto, es posible tener una superficie con más de dos lados? Mi intuición me dice que no, pero tal vez alguien hizo algún truco de magia y lo hizo de alguna manera. He mirado en algunos artículos de wikipedia y he visto ninguna mención a algo con más de dos superficies (yo he utilizado mi navegador herramienta de búsqueda), a menos que tales superficies tienen otros nombres.

Supongo que las etiquetas deben ser de geometría y topología, si usted piensa que hay algo más, por favor, edite.

Answer 1

He aquí una explicación intuitiva (y escribo esto bajo el supuesto de que la superficie está conectado).

La clave está en la comprensión de la diferencia entre el número de lados "local" y el número de lados "a nivel mundial".

Para cualquier superficie representada en el espacio 3-D, el número de lados localmente es exactamente dos. La razón intuitiva de esto es que si entrenas un microscopio en un punto de la superficie de zoom y el modo en, verá un local pieza de la superficie que se ve muy, muy similar a un plano en el espacio 3-dimensional. Un plano en el espacio 3-D siempre tiene exactamente dos lados. Así que desde una perspectiva local, una superficie que tiene exactamente dos lados. No uno, no tres o más, pero exactamente dos.

Ahora pasamos a la perspectiva global. Imagine que en el microscopio se puede ver una pequeña criatura caminando a lo largo de un lado del local de la pieza de la superficie. Es posible que la criatura para viajar a lo largo de un camino, uno de los cuales es permitido salir de la vista del microscopio, pero que devuelve en un momento posterior, de modo que cuando la ruta devuelve la criatura que está en el lado opuesto de la pieza de la superficie en el microscopio? Si es así, si existe un camino, a continuación, desde una perspectiva global, la superficie es de un solo lado. Si no, si no importa el camino que la criatura camina alrededor de ella siempre regresa al mismo lado de la superficie en el microscopio, a continuación, la superficie a nivel mundial es de dos caras.

Como @studiosus dice, este es el concepto de "co-orientación", también llamado "orientación transversal". En cada punto en cada superficie en el espacio 3-D, hay dos locales transversal orientaciones. La superficie es a nivel mundial uno de los lados, si existe un camino que los interruptores de los dos locales transversal orientaciones, y la superficie es globalmente a dos caras si no hay ninguna ruta de los interruptores de los dos locales transversal orientaciones.

• COMENTARIOS ADICIONALES PARA ABORDAR EL COMENTARIO

Para resumir: la razón por la que no hay "3 o más lados" es que hay exactamente dos lados localmente, y los dos lados son ya sea a nivel mundial o equivalentes a nivel mundial no equivalentes. Cuando usted tiene una relación de equivalencia en un conjunto de dos elementos, el número de clases de equivalencia es de uno o dos.

Answer 2

Conseguir una verdadera respuesta a su pregunta requiere cierta familiaridad con la topología diferencial (o topología algebraica), que supongo en lo que sigue. Mi favorito de referencia es do Carmo "Geometría de Riemann".

Las definiciones que a continuación se (intencionalmente) formal (usted tenía suficiente informal de entrada de otras respuestas). Para obtener una intuición, uno debe trabajar con ejemplos concretos de las superficies en $R^3$.

En el fin de mantener las cosas simples, voy a suponer que en lo que sigue que $S$ es un buen hipersuperficie en un $$n-dimensional de Riemann colector $(M,g)$, es decir, $S$ es un buen submanifold en $M$ y $S$ ha dimensión $n-1$. (La hipótesis de la suavidad y la presencia de una métrica de Riemann, simplificar la definición y pruebas, pero puede evitarse haciendo un poco más de trabajo. Para evitar el uso de métrica de Riemann tendría que definir el normal paquete de $S$ en $M$. Para eliminar la suavidad de la hipótesis, tendría que invocar algunas de maquinaria pesada de la teoría topológica colectores.) Para su concreción, se puede considerar el caso cuando $M=R^n$ con el estándar métrico.

Definición. Una unidad de vector normal a $S$ en el punto $x\in S$ es un vector unitario en $T_x(M)$ (el espacio de la tangente de $M$ en $x$), el cual es ortogonal a $T_x(S)$ (el espacio de la tangente de $S$ en $x$).

Definición. Una unidad normal del vector de campo a $S$ es un campo vectorial a lo largo de $S$ que consta de la unidad de vectores normales, es decir, una suave mapa de $\nu: S\a TM$ (la tangente paquete de $M$), el cual envía cada $x\in S$ a una unidad vector normal $\nu_x$ $S$ en el punto $$ x.

Definición. Un coorientation de $S$ es una elección de una unidad normal del vector de campo $\nu$ $S$. Un submanifold $S\subconjunto de M$ se llama coorientable si se admite un coorientation.

Claramente, si $\nu$ es un coorientation de $S$, entonces el vector de campo $-\nu$ es también un coorientation de $S$, y $-\nu\ne \nu$.

Ejercicio. Coorientability de $M$ es independiente de la elección de una métrica de Riemann en $M$: $S$ es coorientable si y sólo si existe un continuo campo de vectores $\xi$ junto $S$ tal que $\xi_x\noen T_xS$ para todo $x\in S$. Sugerencia: Usar la proyección ortogonal de $T_xM$ para el complemento ortogonal de $T_xS$ en $T_xM$.

Tenga en cuenta que coorientability es independiente de orientability de $S$ y $M$. También es independiente del número de componentes de $M\setminus S$. Sin embargo:

Ejercicio. una. Si tanto $M$ y $S$ son orientables, entonces $S$ es coorientable.

b. Si $M$ y $$ S están conectados y $M\setminus S$ no está conectado, entonces $S$ es cooriented.

Definición. Suponga que $S$ es conectado. Entonces $S$ es llamado 1 cara si no admitir un coorientation. ($S$ se dice que uno de los lados.)

Lema. Suponga que $S$ es conectado y coorientable. Entonces $S$, admite exactamente dos coorientations.

Prueba. Deje que $\nu, \mu$ ser coorientations de $S$. Yo reclamo que $\nu=\mu$ o $\mu=-\nu$. Considere la posibilidad de un punto de $x\in S$. Entonces $\nu_x=\mu_x$ o $\nu_x=-\mu_x$ ya que estos son la unidad de vectores normales a $S$ y $T_x M= T_x S\oplus {\mathbb R}$ es la descomposición ortogonal. Por lo tanto, se obtiene una partición de $U\sqcup V$ de $S$ donde $$ U=\{x\in M: \nu_x=\mu_x\}, V=\{x\in M: \nu_x=-\mu_x\}. $$ Ambos conjuntos son cerrados en $S$ desde $\nu_x, \mu_x$ son continuas campos vectoriales. Si ambos conjuntos no vacíos, entonces $S$ no está conectado, lo que contradice nuestra suposición. Por lo tanto, ya sea $\nu_x=\mu_x$ para todo $x\in S$ o $\nu_x=-\mu_x$ para todo $x\in S$. qed

Definición. Un lado de la conexión de un hipersuperficie $S$ es una opción de coorientation de $S$.

Corolario. Cada conectado hipersuperficie es de 1 cara o tiene exactamente dos lados. En otras palabras, el número de lados, $\sigma(S) de dólares, de un conectada hipersuperficie $S$ es 1 o 2.

Supongamos ahora que la $S$ no es necesariamente conectado y $$ S= \coprod_{j\J} S_j $$ es la descomposición de la $S$ en sus componentes conectados. A continuación, el número de lados de $S$ se define como $$ \sigma(S):= \sum_{j\J} \sigma(S_j). $$ Por ejemplo, si $S$ es distinto de la unión de la banda de Moebius y un anillo en $R^3$, entonces $\sigma(S)=1+2=3$, es decir, $S$ tiene tres lados. Si $M=RP^2\times S^1$ y $S=RP^2\times \{p\}\subconjunto de M$, entonces $\sigma(S)=2$, es decir, $S$ tiene dos lados.

Esto responde a tu pregunta sobre el "número de caras" de una hipersuperficie. Tenga en cuenta que si $S$ no es una hipersuperficie en $M$ luego su "número de caras" no está definido.

Answer 3

Esta es una gran pregunta. En 1-dimensiones - el caso de degeneración donde rebanada su superficie de manera adecuada el Jordán Curva Teorema (vídeo de YouTube) dice que la curva tendrá un "dentro" y un afuera.

Este resultado suena redundante, pero si la curva es muy complicado, se hace más difícil para comprobar si usted está dentro de su no. Es el rojo de punto dentro de la curva o no. En el segundo ejemplo, el límite es muy complicado, pero todavía tiene 2 lados.