Averiguar la dirección del avión (Rumbo) - ¿Un poco complicado?

Question

Rumbo = Medido a partir del Norte ( $310^\circ$ rodamiento = $140^\circ$ )

Se nos da lo siguiente - un avión sale del aeropuerto LAX hacia SFO a una velocidad aérea de 750 km/h a las 12:00 AM, con el aeropuerto SFO marcando $310^\circ$ del aeropuerto LAX. El aeropuerto SFO está a 540 km del aeropuerto LAX. El viento sopla a 90 km/h con un rumbo de $75^\circ$

1.) ¿Cuál es el rumbo que debe tomar el avión para dirigirse a SFO? (es decir $V_{airplane}$ + $V_{wind}$ debe tener una relación de $310^\circ$ o medida de ángulo de $140^\circ$ )

2.) ¿A qué hora llegará el avión a SFO?

Por alguna razón no puedo lograr una respuesta de un porte de $304.4^\circ$ .

Mi razonamiento

Primero podemos escribir las siguientes ecuaciones:

$750\cos(140 + \theta) + 90\cos(15) = |V_{airplane}|\cos(140)$ y $750\sin(140 + \theta) + 90\sin(15) = |V_{airplane}|\sin(140)$

Dividiendo las respectivas ecuaciones por cos(140) y sin(140) se obtiene:

$\frac{750}{\cos140}\cos(140 + \theta) + \frac{90\cos(15)}{\cos140}= |V_{airplane}|$ y $\frac{750}{\sin140}\sin(140 + \theta) + \frac{90\sin(15)}{\sin140}= |V_{airplane}|$

Por lo tanto, ahora podemos suponer que

$\frac{750}{\cos140}\cos(140 + \theta) + \frac{90\cos(15)}{\cos140}= \frac{750}{\sin140}\sin(140 + \theta) + \frac{90\sin(15)}{\sin140}$

Viendo que hay 4 constantes en la ecuación anterior, ahora definiremos

$\frac{750}{cos140} = A$ , $\frac{90cos15}{cos140} = B$ , $\frac{750}{sin140} = C$ y $\frac{90sin15}{sin140} = D$ .

Manipulando ligeramente la ecuación se obtiene:

$-C\sin(140 + \theta) + A\cos(140 + \theta) = D - B$

Utilizando el hecho de que $k\sin(\theta + \phi) = A\sin(\theta) + B\cos(\theta)$ , donde $k = \sqrt{A^2+B^2}$ podemos reescribir lo anterior como

$k = \sqrt{-C^2+A^2}$

$k\sin(\theta + 140 + sin^{-1}\frac{A}{K}) = D - B$

Por lo tanto,

$\theta = sin^{-1}\frac{D-B}{K} - sin^{-1}\frac{A}{K} - 140$

que arroja la respuesta extremadamente incorrecta de $-94.42^\circ$ o $234.42^\circ$ de los cojinetes.

Me preguntaba dónde está el fallo en mi lógica, o si simplemente hay una forma mejor de hacerlo.

Gracias por todas las respuestas.

Answer 1

Una forma de resolver este tipo de problemas es tomar los tres vectores implicados (la velocidad del avión, la velocidad del viento y la velocidad resultante del suelo), y resolverlos en $X$ y $Y$ componentes. Entonces se obtienen dos ecuaciones: $$X(\text{plane}) + X(\text{wind}) = X(\text{ground speed})$$ y $$ Y(\text{plane}) + Y(\text{wind}) =Y(\text{ground speed})$$

Sin embargo, en este caso, las ecuaciones son bastante complicadas de resolver

Es mucho más sencillo, primero, seleccionar un nuevo girado conjunto de ejes.

Consideremos la velocidad resultante del suelo, una de las incógnitas. Gira los ejes de coordenadas añadiendo el mismo ángulo de desfase a la dirección de cada uno de los tres vectores (incluso el que no conoces, el rumbo volado).

Tu objetivo es hacer que la dirección de la velocidad del suelo resultante sea 0 o 90 o 180 o 270, haciendo así que el seno o coseno de la dirección de la velocidad del suelo sea exactamente cero. Entonces tendrás la ecuación X o Y con una sola incógnita.

Resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar el tamaño de la velocidad del suelo y la dirección de la velocidad del aire. No olvides deshacer la rotación de los ejes restando el desplazamiento que has añadido...

Suponiendo que el viento sople hacia un rodamiento de 75, el primer intento sería así:

Así que resolver Plano + Aire = Resultado tanto para x como para y implica dos ecuaciones, cada una con R y una ración trigonométrica diferente de A. Un lío...

Sin embargo, si se resta 140 a cada ángulo, se obtiene

Observe que el ángulo desconocido cambia de nombre, ya que se mide desde los nuevos ejes.

Ahora la ecuación y sólo tiene una incógnita. Resuelve B, pon el valor de B en la ecuación X, luego suma 140 a B para obtener A, y ya está...