¿Probar esta relación de recurrencia? (números catalanes)

Question

$$C_0 = 1,\quad C_{n+1} = C_0C_n + C_1C_{n1}+ \cdots + C_kC_{nk} + \cdots + C_nC_0\text{ ?}$$

Dónde $C_n$ denota el número de formas de escribir una lista válida de paréntesis abiertos y paréntesis cerrados de longitud $2n$ ?

Answer 1

$$(1+x)^m(x+1)^m=(1+x)^{2m}$$

Los coeficientes de $x^m$ $$\sum_{r=0}\binom mr\binom m{m-r}=\binom{2m}m$$