La propiedad de conectividad depende de la topología

Question

Me encontré con la definición de conectividad y se ha establecido como

Definición: Un espacio topológico $(X, \tau)$ es conexo si los únicos subconjuntos que son abiertos y cerrados son $\varnothing$ y $X$ .

¿Significa esto que el mismo conjunto $X$ puede o no estar conectado dependiendo de cómo $\tau$ ¿se define su topología? Obviamente, la topología trivial es siempre conexa. Sin embargo, ¿hay algún teorema que diga algo sobre la conectividad de una topología no trivial $(X, \tau')$ siempre que sepamos que existe una topología desconectada en el mismo conjunto $X$ a saber: $(X, \tau)$ ?

Dicho de otro modo, ¿es posible elegir topologías en un conjunto $X$ de manera no trivial dependiendo de si necesitamos una topología conectada o desconectada?

Answer 1

En cuanto a tu título, sobre si la conectividad depende de la topología, fíjate que cuando se define el concepto de "topología", al mismo tiempo se define también el concepto de "abierto":

Dada una topología $\tau$ en un conjunto $X$ y dado un subconjunto $U \subset X$ , para decir " $U$ está abierto" significa " $U \in \tau$ ".

Esto es como una entrada del diccionario: en todas partes se ve la frase " $U$ está abierto", puede utilizar su diccionario y sustituir esa frase por " $U \in \tau$ ", suponiendo por supuesto que una topología $\tau$ se ha dado.

Por lo tanto, se puede reescribir la definición de conectividad de esta manera. Primero, introduce una variable:

Definición: Un espacio topológico $(X, \tau)$ es conexo si los únicos subconjuntos $U$ tal que $U$ es tanto abierto como cerrado son $U=\varnothing$ y $U=X$ .

A continuación, aplica la definición de cerrado:

Definición: Un espacio topológico $(X, \tau)$ es conexo si los únicos subconjuntos $U$ de manera que ambos $U$ y $X-U$ está abierto son $U=\varnothing$ y $U=X$ .

Y, finalmente,

Definición: Un espacio topológico $(X, \tau)$ es conexo si los únicos subconjuntos $U$ tal que $U \in \tau$ y $X-U \in \tau$ son $U=\varnothing$ y $U=X$ .

Y ahora está muy claro: la definición de conectividad depende en gran medida de $\tau$ .

Así que a estas alturas no debería ser una sorpresa que al cambiar $\tau$ para otra topología elegida al azar $\tau'$ en $X$ la cuestión de si $(X,\tau')$ está conectado es bastante independiente de la cuestión de si $(X,\tau)$ está conectado.