Demostrar que $S=\{(x,y):|x+y|\leq 1, |xy|\leq 1\}$ es un conjunto compacto

Question

En mi prueba de análisis de hoy, me hicieron la pregunta

Demostrar que el conjunto $$S=\{(x,y):|x+y|\leq 1, |xy|\leq 1\}$$ es compacto en $\mathbb R^2$ .

Ahora, por supuesto, para demostrar la compacidad, tenemos que demostrar que $S$ es cerrado y acotado, y luego utilizar el Teorema de Borel de Heine. La parte acotada es fácil de demostrar, ya que el conjunto está contenido en una bola de radio $2$ . Fue la parte cerrada la que me chupó la sangre. Sé que es intuitivamente claro ya que el conjunto contiene el límite. Pero, esa no es una respuesta que se escribe en el examen de análisis. Lo que hice fue escribir $$S=S_1\cap S_2$$ donde \begin{align*} S_1&=\{(x,y):|x+y|\leq 1\}\\ S_2&=\{(x,y):|xy|\leq 1\} \end{align*} y luego trató de demostrar que $S_1^\prime$ y $S_2^\prime$ son abiertos (lo que demuestra que $S_1$ y $S_2$ son cerradas, y por tanto su intersección es cerrada). En el caso de $S_1^\prime$ la distancia entre un punto arbitrario y las líneas $|x+y|\leq 1$ era fácil de calcular explícitamente; en el caso de $S_2^\prime$ No es así.

De todos modos, creo que no he sido lo suficientemente riguroso, y que debe haber una forma más ordenada de resolver esto. Especialmente, pasé algún tiempo para encontrar una función continua $f$ tal que la preimagen de $f$ bajo algún conjunto cerrado es $S$ pero no pude encontrarlo. Estoy seguro de que debe haber una función que haga el trabajo.

¿Existe una forma mejor (que calcular explícitamente las distancias) de evitar esto?

Aquí hay un gráfico de $S$ por si le interesa.

Answer 1

$f: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ dado por $$ f(x,y) = (|x+y|,|xy|) $$

es continua ya que cada componente es continua. Tenemos $$ S = f^{-1}([0,1] \times [0,1]) $$

así que $S$ es la preimagen de un conjunto cerrado. También se puede definir $$ g(x,y) = (x+y,xy) $$ que es continua, y luego $S = g^{-1}([-1,1] \times [-1,1])$ . En cualquier caso, $S$ es cerrado. La acotación de $S$ se deduce del hecho de que para $(x,y)\in S$ , $$ x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy \leq |x+y|^2 + 2|xy| \leq 3 $$

y eres bueno. (Quiero decir, ya has demostrado esto, así que esto es sólo para completar).

Answer 2

$S=f^{-1}([0,1])\cap g^{-1}([0,1])$ donde $g(x,y)=|x+y|$ y $f(x,y)=|xy|$ (los conjuntos son cerrados porque $f,g$ son continuas y sabemos que la imagen inversa de un conjunto cerrado bajo una función continua es cerrada)

Answer 3

La forma más rápida podría ser decir que la función definida por $$ f(x,y) = (|x+y|, |xy|) $$ es continua en $\mathbb R^2$ y así $S = f^{-1}([0,1]^2)$ es la imagen inversa de un conjunto cerrado por una función continua, por lo tanto es cerrado.

Answer 4

Me gustaría dar aquí una dirección diferente.

Entre las 2 ecuaciones que definen el conjunto $S$ la más restrictiva es

$$|xy| \le 1 \implies ((|x| \le 1) \ \text{and} \ (|y| \le 1)) \implies x^2+y^2 \le 2$$

Por lo tanto, $S$ es un limitado (véase la figura siguiente).

Además, $S$ es un cerrado (porque se define como la intersección de 2 conjuntos cerrados, esta cerrazón viene de la definición por ecuaciones con $ \le$ signos).

Estar acotado y cerrado, $S$ es un conjunto compacto.

Fig. 1: Conjunto de intersecciones de una franja NW-SE definida por $-1 \le x+y \le 1$ y el interior de la hipérbola con ecuación $y=-\frac{1}{x}$ (la otra hipérbola $y=\frac{1}{x}$ no juega ningún papel).

Answer 5

Utilizando el primer enfoque, no es necesario calcular explícitamente las distancias, sino que basta con encontrar una vecindad lo suficientemente pequeña que todavía esté contenida en el conjunto, utilizando algunos límites. En concreto, supongamos que $|xy|=1 + \epsilon>1$ . Entonces tendrá que demostrar que $|(x+\delta x)(y + \delta y)|>1$ si $\delta x$ y $\delta y$ son lo suficientemente pequeños. En particular, se pueden definir algunos pequeños $\gamma$ en función de $\epsilon$ de manera que si $\delta x^2 + \delta y^2 < \gamma$ entonces $|(x+\delta x)(y + \delta y)|>1$ . A $\gamma$ que funciona en este caso es $\gamma=\left(\min\left\{\frac{\epsilon}{1+|x| + |y|}, \frac12 \right\}\right)^2$ ya que $|\delta x|\le \sqrt{\gamma}$ , $|\delta y|\le \sqrt{\gamma} \le \frac12$ y

$$\begin{aligned} |(x+\delta x)(y + \delta y)|&\ge |xy| - |\delta x||y|-|\delta y||x| - |\delta x||\delta y|\ge |xy| - \sqrt{\gamma}\left(|y| + |x| + \frac12\right)\\&> 1 + \epsilon - \epsilon = 1 \end{aligned}$$

Sin embargo, el segundo enfoque es más fácil: la función $f(x,y) = |xy| - 1$ es continua.