Supongamos que $(M,g)$ es una variedad completa de Riemann. $p\in M$ es un punto fijo. $d_{p}(X)$ es la función de distancia definida por $p$ en M (es decir, $d_p(x)$ =la distancia entre $p$ y $x$ ). Sea $\epsilon>0$ sea un número positivo arbitrario. ¿Existe una función suave $\tilde{d}_p(x)$ en $M$ , de tal manera que $$ | d_p(x)-\tilde{d}_p(x) | < \epsilon$$ $$ |\textrm{grad}(\tilde{d}_p)(x)|<2$$ para $\forall x \in M$ ?
Necesito este resultado cuando intento seguir una prueba. La existencia de dicha función parece darse por sentada en esa prueba, y se llama "regularización" de la función de distancia.
Las funciones que satisfacen la primera condición se pueden construir fácilmente utilizando la partición de la unidad y la técnica estándar de los mollares. Sin embargo, no veo cómo controlar el gradiente de la función aproximada. ¿Podríais ayudarme, por favor? Muchas gracias.
