Representación integral de cuatro corrientes con el tiempo adecuado

Question

Tengo una pregunta sobre la corriente de cuatro en la representación covariante. la cuatro corriente se define como

$$ J^{\alpha} = \binom{c\rho}{\vec{j}} $$

y estoy teniendo una carga de puntos, $$\rho(\vec{x},t)=e\delta(\vec{x}-\vec{r}(t)),$$ $$\vec{j}(\vec{x},t)=e\frac{d\vec{r}}{dt}\delta(\vec{x}-\vec{r}(t)).$$ Ahora, el cuatro vector $r=(r^0, \vec{r})$ es el punto espacio-temporal en la trayectoria de mi carga puntual y $x=(x^0, \vec{x})$ es el punto de observación.

Con $r^{\alpha}(\tau)$ en función del tiempo propio y de la cuádruple velocidad $V^{\alpha}$ las cuatro corrientes pueden escribirse como $$J^{\alpha} = e \int{d\tau V^{\alpha}\delta^{(4)}(x-r(\tau))}.$$

Mi pregunta: ¿por qué y cómo? No puedo verificar esta expresión, en particular no entiendo de dónde viene la integral, y estoy un poco confundido acerca de cómo $r^{\alpha}(\tau)$ parece. Quiero decir que sé $$r^{\alpha} = \binom{ct}{\vec{r}(t)},$$ pero cómo manejar esto con el tiempo adecuado y también lo que es sobre $V^{\alpha}(\tau)$ y $V^{\alpha}(t)$ ?

Answer 1

Nota: $c=1$ en lo siguiente.

Cada línea del mundo similar al tiempo puede ser parametrizada por su tiempo propio. Si se le da $\vec r(t)$ entonces el tiempo apropiado en $t_0$ viene dada por $$\tau(t_0) = \int_0^{t}\sqrt{1-\left(\frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t}\right)^2}\mathrm{d}t $$ e invirtiendo esta expresión se obtiene $t(\tau)$ te da la línea del mundo $r^\mu = (t(\tau),\vec r(t(\tau))$ parametrizado por su tiempo propio.

Ahora, inserte $1 =\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t}$ en su expresión para $\rho$ . Entonces, su cuatro corriente se convierte en $$ j^\mu = e \frac{\mathrm{d}r^\mu}{\mathrm{d}t}\delta(\vec x-\vec r(t))$$ y utilizando la regla de la cadena $$ j^\mu(\vec x,t) = e \frac{\mathrm{d}r^\mu}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}\delta(\vec x - \vec r(t)) = e u^\mu \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}\delta(\vec x - \vec r(t))$$ Ahora, utilizamos $$ j^\mu(\vec x,t')= = \int j^\mu(\vec x,t)\delta(t'-t)\mathrm{d}t=\int e u^\mu \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}\delta(\vec x - \vec r(t))\delta(t'-t)\mathrm{d}t$$ y de nuevo por la regla de la cadena $$ j^\mu(\vec x ,t') = \int e u^\mu \delta(\vec x - \vec r(t))\delta(t'-t)\mathrm{d}\tau$$ Finalmente, $t= r^0$ , $t' = x^0$ y $\delta(x - r) = \delta(\vec x - \vec r)\delta(x^0 - r^0)$ dar la fórmula que has preguntado.