Método para hallar la suma de una serie

Question

Estoy tratando de encontrar la suma de la serie,

$\large\Sigma_{n=0}^\infty \large\frac{(-1)^n}{5^n}$

y no tengo ni idea de cómo empezar.

La única forma que conozco para encontrar sumas es:
1)Por series geométricas $\large r^n$ donde $r < 1$ .
2)Por sumas parciales, que también lo intenté pero no tuve éxito, ya que no fui capaz de hacer una fórmula a partir de las sumas.

Puedo ver que la suma es geométrica con $\large r=\frac{1}{5}$ pero no tengo ni idea de cómo conseguir la respuesta $\large-\frac{1}{6}$
(que parece ser correcta según WolframAlpha) con la fórmula $\large S_n=\large\frac {1}{1-r}$ .

Answer 1

Si también quieres saber de dónde viene la fórmula de la suma,

Considere una serie con primer trimestre \= $a$ y relación común \= $r$
Déjalo,
$S=a+a.r+a.r^2+a.r^3+...+\infty$ $\;\;\;\;\;\;\;$ (i)

Multiplicar series enteras por $r$ nos encontramos con que,

$r.S=a.r+a.r^2+a.r^3+...+\infty$ $\;\;\;\;\;\;\;\;$ (ii)

Restando (ii) de (i)

$(1-r).S=a$ $\;\;\;\;\;$ $\implies$ $S=\large\frac{a}{1-r}$

$\large\Sigma_{n=0}^\infty \large\frac{(-1)^n}{5^n}=1-\large\frac{1}{5}+\large\frac{1}{25}+..+upto\space infinite\space terms$
De la serie $a=1$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ y $r=-1/5$

$S=\large\frac{1}{1-\large\frac{-1}{5}}$ $\;\;\;\;\;\;$ $\implies$ $S=\large\frac{5}{6}$

Answer 2

Se trata de una serie geométrica con $r=-1/5$ . La suma es $1/(1-(-1/5))=5/6$ .

Answer 3

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{5^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\big(\frac{-1}{5}\big)^n$$

Así que $a=1$ y $r=-1/5$ .