Queremos demostrar que ningún elemento irreducible en un dominio de factorización único $D$ puede escribirse como un cuadrado de algún elemento de su campo de fracción $F$ .
Toma $x$ en $D$ y vamos por una contradicción. Escribe $x=\left(\frac{a}{b}\right)^{2}$ . Mi objetivo es, por supuesto, contradecir la irreductibilidad de $x$ . Pero, estoy teniendo algunos problemas.
Como se ha insinuado, la prueba es prácticamente la misma que demostrar que la raíz cuadrada de 2 es irracional. Podemos suponer que dividiendo una potencia de $x$ que al menos uno de $a,b$ no es divisible por $x$ . Entonces, como $$b^2x=a^2$$ y estamos en un UFD, $x\mid a$ (porque $x$ es primo). Escribe $a=cx$ donde $c$ está en nuestro anillo base. Entonces $$b^2x=c^2x^2$$ así que $$b^2=c^2x$$ y por lo tanto $x$ divide $b$ una contradicción.
Sugerencia $\ $ En $\,a^2 = x b^2$ el primer $x$ ocurre a la potencia par en el LHS pero a la potencia impar en el RHS, contradicción. Nótese que la prueba utiliza la existencia y la unicidad de las factorizaciones primarias.
Nota: $\ $ De forma más general, la prueba clásica de la prueba de la raíz racional se generaliza fácilmente a los UFD. En particular, implica que si $\,z^2 - d\, $ tiene una raíz racional (es decir, en el campo cociente de $D)$ entonces esa raíz es integral, es decir, en $D,\,$ como en el caso clásico $D = \Bbb Z$
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Piensa en lo que ocurre en $\mathbb{Q}$ y luego generalizar
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Sí, no había visto esta pregunta antes, pero pensé inmediatamente en la prueba de que la raíz cuadrada de 2 es irracional.