Identidad que involucra a los personajes $\prod\langle f,\psi\rangle = \det\left(f\left(gh^{-1}\right)\right)$

Question

Quiero demostrar que para un grupo abeliano finito $G$ y una función $f : G \to \mathbb{C}$ se cumple la siguiente identidad $$ \prod_{\psi\in\hat{G}} \langle f,\psi \rangle = \det_{g,h \in G} \left(f\left(gh^{-1}\right)\right). $$

Este es el ejercicio 1 del capítulo 3 del libro de Iwaniec y Kowalski, y aparentemente se debe a Dedekind.

He intentado simplemente expandir ambos lados y compararlos pero no he conseguido nada, y estoy pensando que debe haber una prueba mejor. Se agradece cualquier ayuda.

PD: No estoy seguro de cómo titular esto, así que también estoy abierto a sugerencias en este sentido.

Answer 1

Mira $\mathbb{C}G$ de dos maneras diferentes. El lado derecho corresponde al determinante del mapa "multiplicando por $\sum_g f(g)g$ ". El LHS corresponde a la descomposición de $\mathbb{C}G$ en la suma directa de $1$ -irreps de dimensiones. Nótese que la multiplicación por $\sum_g\psi(g)g$ es $0$ excepto en el submódulo $\mathbb{C}\sum_g\psi(g)g$ .