Reversión media en el proceso AR(1)

Question

El nivel de reversión media en el siguiente proceso AR(1) es $b/(1-a)$ . $$x(t) = a + bx(t-1).$$ Entiendo esto.

He leído que el nivel de reversión media para el proceso AR(1) dado a continuación con diferenciación finita es $-(b/a)$ : $$x(t)-x(t-1) = a+ bx(t-1).$$ ¿Puede alguien explicar cómo es esto cierto? ¿Pueden ayudarme con la derivación?

Answer 1

Tengo la impresión de que su pregunta contiene errores tipográficos: el "nivel de reversión media" es $a/(1-b)$ y $-a/b$ respectivamente. Piensa que si lo que has escrito es correcto, entonces para el primer proceso, si ocurriera que el término constante fuera igual a $a=1$ el proceso no tendría un nivel de reversión media. Y para el segundo proceso, si ocurriera que $a=0$ También no tendría un nivel de reversión de la media. ¿Le parecen razonables estas consecuencias? ¿Por qué la existencia o no de un nivel de reversión de la media depende de que un término constante independiente, un desplazador, adquiera un valor específico o no?

En un contexto de ecuación diferencial determinista, el "nivel de reversión de la media" es el punto fijo del proceso. Así que para el primer proceso, $$x(t) = x(t-1) = x \Rightarrow (1-b)x = a \Rightarrow x = a/(1-b)$$

y análogamente para el segundo proceso.

Pero como usted está llamando a estos procesos $AR(1)$ etc, parece que usted trabaja en un marco estadístico, donde el "nivel de reversión media" es el valor esperado de un proceso estacionario ( $b<1$ ), el valor al que gira el proceso, y al que "tiende" si "corre lo suficiente". Y para calcularlo, hay que expresarlo en términos del término de innovación, que suele ser un ruido blanco (cuando realizamos una regresión no "eliminamos" la innovación, simplemente la ignoramos inevitablemente, ya que es desconocida).

Tenemos, resolviendo recursivamente

$$x_t = a + bx_{t-1} +u_t = a + b\Big(a + bx_{t-2} +u_{t-1}\Big) +u_t $$

$$ = a(1+b) + b^2\Big(a + bx_{t-3} +u_{t-2}\Big) +bu_{t-1}+u_t=...$$

$$... = a(1+b+b^2+...) + \sum_{i=0}^{\infty} b^{i}u_{t-i}$$

$$= \frac {a}{1-b} + \sum_{i=0}^{\infty} b^{i}u_{t-i}$$

Así que

$$E(x_t) = \frac {a}{1-b} + E\left(\sum_{i=0}^{\infty} b^{i}u_{t-i}\right) = \frac {a}{1-b}$$

la última igualdad porque las innovaciones son independientes y cada una tiene un valor esperado cero.

Puede utilizar el mismo enfoque para el segundo proceso.

Answer 2

Si está dispuesto a hacer algunas suposiciones de estacionariedad, a saber $|b|<1$ en el primer caso y $|1+m|<1$ en el segundo, aquí hay una forma rápida:

Dejemos que

$$X_t=a+bX_{t-1}+\varepsilon_t,\ \varepsilon_t \overset{iid}{\sim}(0,\sigma²)$$ Entonces

$$\begin{align} \mathbb{E}X_t&=a+b\mathbb{E}X_{t-1}\\ &=a+b\mathbb{E}X_t\\ &=\frac{a}{1-b} \end{align}$$

Consideremos ahora el primer proceso de generación de datos de diferencia con los mismos supuestos sobre $\varepsilon_t$ , a saber. $$\begin{align} X_t-X_{t-1}&=n+mX_{t-1}+\varepsilon_t\\ &\iff \\ X_t&=n+(1+m)X_{t-1}+\varepsilon_t\\ &\implies\\ \mathbb{E}X_t&=\frac{n}{1-(1+m)}=-n/m \end{align}$$