¿Cómo elegir un contorno adecuado para una integral de contorno?

Question

Al analizar integrales reales con integrales de contorno, ¿cómo se elige una integral de contorno adecuada?

Muchos casos pueden resolverse integrando alrededor de la mitad superior de un círculo de radio infinito y luego integrando a lo largo de toda la recta real.

Entiendo cómo al integrar se evitarían los cortes de rama, pero ¿cómo se sabría utilizar un rectángulo o un cuarto de círculo como contorno?

Answer 1

En respuesta al comentario, intentaré explicar cómo elijo los contornos para la integración.

Primero examino los límites de la integración. Si es superior a $[0, \infty)$ e incluso, que se acabe $(-\infty,\infty)$ .

A continuación, observo cómo se comporta la función alrededor del infinito en la mitad superior del plano. Si disminuye lo suficientemente rápido (por ejemplo $\frac{\exp(ix)}{x^2+1}$ ), podemos integrar con un contorno semicircular. Si no, encontrar un valor $a$ tal que al integrar un rectángulo con vértices en $-R, R, R+ia, -R+ia$ (como $R\to\infty$ ), los lados verticales desaparecen y las integrales horizontales son iguales cuando se multiplican por una constante.

Si la función no puede igualarse, aún queda alguna esperanza para integrar el contorno. Si la función tiene un corte de rama (por ejemplo $\frac{\sqrt x}{x^2+1}$ ), intente un contorno de ojo de cerradura si la función decae lo suficientemente rápido alrededor de $\infty$ . Si no, prueba con un rectángulo.

Si el integrando puede simplificarse como $f(x+ia) = g(x)$ donde la integral de $g$ es conocida o tiene la forma $A f(x)$ puede explotarse utilizando un contorno rectangular. Por ejemplo, un contorno rectangular de anchura y altura infinitas $a$ a lo largo de la línea real junto con el conocimiento de que $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx =\sqrt{\pi}$ puede demostrar fácilmente que $\int_{-\infty}^\infty e^{-(x+a)^2}\, dx =\sqrt{\pi}$ .

Los contornos en cuña pueden utilizarse en situaciones como las de los contornos rectangulares, pero en lugar de tener $f(x+ia)$ siendo bien educados, tenemos $f(e^{i\theta}x)$ portarse bien. Por ejemplo, volver a tomar $f(x) = e^{-x^2}$ vemos que $f(xe^{i\pi/4}) = e^{-ix^2}$ . Así, tomando un contorno de cuña con $\theta=\pi/4$ podemos deducir de la integral $\int_{0}^\infty e^{-x^2}\, dx =\sqrt{\pi}/2$ que $\int_{0}^\infty \sin(x^2)\, dx =\int_{0}^\infty \cos(x^2)\, dx =\sqrt{\pi/2}/2$ .

Existen otros contornos y se pueden utilizar (por ejemplo, el contorno trapezoidal para integrar la integral gaussiana), aunque he comprobado que los contornos anteriores funcionan para la mayoría de las integrales estándar.

Si el contorno atraviesa un polo, hágale una sangría con un semicírculo - con un polo simple, $z_0$ el valor aportado por esa integral es igual a $i\theta\operatorname*{Res}f_{z=z_0}$ donde $\theta$ es igual al ángulo recorrido alrededor del polo.

A menudo es conveniente cambiar $\sin$ o $\cos$ en el numerador a $e^{ix}$ (que es mejor para la integración alrededor de la mitad superior del plano) y tomar la parte real o imaginaria después de la integración - esto se puede hacer incluso si la otra parte diverge.

Cuando se trate de exponentes, utiliza las identidades trigonométricas para reducir la función a una exponencial que decaiga. Por ejemplo, es más fácil tratar con $\Re \left[\frac{1-e^{2ix}}{2}\right] = \sin^2(x)$ en lugar de $\sin^2(x)$ .