geodésicas en $G/K$ que no son las órbitas de un subgrupo de 1 parámetro de $G$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie y $K \subset G$ un subgrupo cerrado, tal que existe un $v \in T(G/K)$ cuyo grupo de isotropía $G_v$ es discreto (por lo que si $\dim G_v =0$ ). Supongamos $g$ actúa correctamente en $T(G/K)$

Ahora dotamos $G/K$ con un $G$ -métrica riemanniana invariante $< \cdot, \cdot >$ tal que existe una geodésica que no es la órbita de un subgrupo de 1 parámetro de $G$ .

Así que mi pregunta es:

Asumiendo que tenemos

1. $v_1 \in TM$ tal que $\dim G_{v_1} =0$
2. $v_2 \in TM$ tal que la geodésica inducida por $v_2$ no es la órbita de un subgrupo de 1 parámetro de $G$ .

¿Podemos ahora encontrar siempre un elmento $v_0 \in TM$ , de tal manera que $\dim G_{v_0}=0$ y la geodésica no es la órbita de un subgrupo de 1 parámetro de $G$ ?

Edición 2: Pregunto, ya que Paternain y Spatzier dicen en su artículo "Nuevos ejemplos de variedades con flujos geodésicos completamente integrables"

"Supongamos que la métrica invariante de la izquierda en $G/K$ tiene una geodésica que no es la órbita de un subgrupo de 1 parámetro de $G$ . Entonces a.e. la isotropía de $\hat{G}$ tiene dimensión cero", donde $\hat{G}$ es la acción generada por $G$ y el flujo geodésico. Pero para concluir, que el grupo de isotropía de $\hat{G}$ en algún momento $w \in TM$ tiene dimensión cero, necesitamos encontrar $w \in TM$ , de tal manera que $w$ no es la órbita de un subgrupo de 1 parámetro de $G$ y además, el grupo de isotropía de $G$ en $w$ tiene que tener dimensión cero. (También asumieron que hay un $v \in TM$ , de tal manera que $\dim G_v=0$ )

Editar:

Si asumimos que $G$ actúa correctamente en $T(G/K)$ podríamos intentar demostrar que $M_2$ es abierto, por lo tanto $T(G/K)\setminus M_2$ está cerrado.

Dejemos que $l \colon G \times G/K \to G/K$ sea la multiplicación por la izquierda y $l_{g*} \colon T(G/K) \to T(G/K)$ la acción sobre $T(G/K)$ por derivaciones. Denotemos por $\exp$ la exponencial de riemann y por $e^{\xi}$ el exponencial de la mentira.

Toma $v_n \in M_2$ , de tal manera que $v_n \to v_0$ . Desde $v_n \in M_2$ encontramos $\xi_n \in \mathfrak{g}$ tal que $g_n(t).v_n=l_{e^{t\xi_n}*}(v_n) = \exp_{x_n}(tv_n)$ . Desde $\exp$ es continua, obtenemos $\exp_{x_n}(tv_n) \to \exp_{x_0}(tv_0)$ .

Ahora arreglamos $t$ y así tenemos una secuencia $v_n \to v_0$ y $g_n(t).v_n \to w_0(t) \in T_{y_0}M$

Utilizando la propiedad de la acción sobre $TM$ tenemos una subsecuencia $g_{n_j}(t) \to g_{*t}$ que es convergente y por tanto $e^{t\xi_{n_j}}.v_{n_j} \to g_{*t}.v_0 = \exp_{x_0}(tv_0)$ (para los fijos $t$ ). Si ahora pudiera estar seguro de que $g_{*t}$ forma un subgrupo de 1 parámetro de $G$ yo habría terminado.

Answer 1

Tal vez esté entendiendo mal su pregunta, pero ¿qué pasa con el siguiente ejemplo?

Dejemos que $G = \mathrm{SO}(3)$ y que $K=\{e\}$ sea el subgrupo de identidad. Entonces $G/K = \mathrm{SO}(3)$ y $G_v = K$ para todos $v\in T\mathrm{SO}(3)$ .

Ahora dejemos que $g$ sea una métrica sobre $\mathrm{SO}(3)$ que es invariante bajo la acción izquierda de $G$ sobre sí mismo, pero no es invariable a la derecha. De hecho, para definirlo, supongamos que la componente de identidad del grupo de isometría de $(\mathrm{SO}(3),g)$ es $G$ actuando a la izquierda (este será el caso de la métrica genérica invariante a la izquierda en $G$ ).

Entonces casi todas las geodésicas para $g$ no son órbitas de $1$ -subgrupos de parámetros de $G$ . De hecho, hay que utilizar funciones elípticas para describirlas.

(Esto es equivalente al problema del cuerpo rígido en rotación en $3$ -dimensiones. Véase, por ejemplo, Arnold "Mathematical Methods of Classical Mechanics" para una discusión exhaustiva).