Cómo los ceros de la segunda derivada se corresponden con el valor de equilibrio

Question

Esta pregunta surgió al trazar algunas funciones en MATLAB y GeoGebra. Supongamos que tenemos una función de la forma

$$f(x)=A \sin(P_n(x))+d \qquad \text{or}\qquad f(x)=A \cos(P_n(x))+d$$

donde

$$P_n(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i,\quad a_i \in \mathbb{R}.$$

¿Cómo demostramos que si $f''(x)=0$ entonces $f(x)=A/2+d$ ?

Answer 1

Bueno, no puedes... tomar $A = 1$ , $d = 0$ y $P_n(x) = x^2$ . Entonces, si $f(x) = \cos(x^2)$ , $f''(x) = -2\sin(x^2) - 4x^2\cos(x^2)$ . Esto ha $f''(0) = 0$ pero $f(0) = 1\neq \frac{1}{2}$ .