Es $F(c\vec{v})$ = $cF(\vec{v})$ condición de transformación lineal lo mismo que $F(\vec{a})+F(\vec{b})=F(\vec{a}+\vec{b})$ ?

Question

Es $F(c\vec{v})$ = $cF(\vec{v})$ condición de transformación lineal lo mismo que $F(\vec{a})+F(\vec{b})=F(\vec{a}+\vec{b})$ ?

Soy estudiante de física y estudio álgebra lineal.

Las 2 condiciones de la transformación lineal me parecen bastante iguales. Pero, sé que si estas 2 fueran iguales entonces no se mencionaría explícitamente en la literatura.

Por qué creo que las dos condiciones son la misma cosa:

Para cualquier número real (racional o irracional) $c$ el vector $c\vec{v}$ puede expresarse como una suma de $n$ vectores iguales, $\frac{c}{n}\vec{v}$ .

Así que, $$c\vec{v}=\sum_{i=1}^{n}\frac{c}{n}\vec{v}$$ Entonces, aplicando la primera condición sobre 2 constituyentes obtenemos $F(\frac{c}{n}\vec{v})+F(\frac{c}{n}\vec{v})=F(\frac{2c}{n}\vec{v})$ $\implies2F(\frac{c}{n})=F(\frac{2c}{n})$ . Entonces, aplicando la inducción, podemos obtener la segunda condición $F(c\vec{v})$ = $cF(\vec{v})$

Entonces, ¿por qué es necesaria la segunda condición?

Un razonamiento: Si $c$ es un número irracional, entonces esta suma repetida nunca termina; porque $\frac{c}{n}$ también es un número irracional. Aunque puede no ser un problema para un físico, puede ser un real problema a un matemático. Pero, no conozco tan profundamente la teoría de los números. Así que no puedo entender el problema.

Así que, matemáticos, ayúdenme a entender la razón de enunciar explícitamente la 2ª condición. Podéis usar cosas avanzadas para aclararlo, pero primero dad una explicación sencilla y luego explicadla con rigor.

Answer 1

Ha demostrado que si $F(a) + F(b) = F(a+b)$ entonces dado cualquier $n \in \mathbb{N}$ y cualquier $c$ y cualquier vector $v$ $F(cv) = nF(\frac{cv}{n})$ . Siguiendo el mismo argumento se puede demostrar que $F(nv) = nF(v)$ con $n \in \mathbb{N}$ . Con estas dos pruebas has conseguido hacerlo con números racionales. Como dices, te faltan los números irracionales, eso es importante, de hecho son casi todos $\mathbb{R}$ . Y si se considera un $\mathbb{C}$ -Espacio vectorial te falta mucho más. Ahora bien, si consideras un vector espacial arbitrario, digamos $(V,\mathbb{K},+,.)$ con $\mathbb{K}$ ¿un campo arbitrario?

Answer 2

Las dos condiciones no son equivalentes, ya que necesitamos ambas para garantizar que una trasformación es lineal.

La razón se encuentra en las propiedades que definen un subsbace y en particular

$0) \vec{0} \in W\\ 1) \vec{cv}\to c \cdot \vec{v}\in W\\ 2) \vec{v}+\vec{w} \in W$

En efecto, consideremos por ejemplo el siguiente subconjunto $$S=\{\vec v,\vec w:\vec v=t(1,0), \vec w=s(0,1)\}\subseteq\mathbb{R}$$

entonces "1" está satisfecho pero "2" no.

También podemos dar, por supuesto, ejemplos de transformaciones para las que

• $F(c\vec{v})$ = $cF(\vec{v})$ se satisface, pero
• $F(\vec{a})+F(\vec{b})=F(\vec{a}+\vec{b})$ no es

Consideremos, por ejemplo, la transformación

$$\vec v(a,b) \to \begin{cases}\vec v \quad |a|\ge |b|\\-\vec v \quad |a|< |b| \end{cases} $$