Literatura sobre las extensiones de Kan

Question

¿Existe literatura sobre las extensiones de Kan de los funtores cuyo dominio no es una categoría pequeña? ¿Se conoce algún caso general en el que existan?

Por ejemplo, digamos $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ y $G:\mathcal{C}\to\mathcal{E}$ son funtores con uno de ellos completo y fiel y ambos $\mathcal{D}$ y $\mathcal{E}$ bicompleto (=completo+cocompleto) - ¿existe alguna de las extensiones de Kan?

Answer 1

Dada cualquier extensión del derecho $HG\overset\epsilon\Rightarrow F\colon\mathcal C\to\mathcal E$ de $\mathcal C\xrightarrow{F}\mathcal E$ a lo largo de $\mathcal C\xrightarrow{G}\mathcal D$ para cada objeto $Y\in\mathcal D$ los morfismos $HY\xrightarrow{Hg}HGX\xrightarrow{\epsilon_X}FX$ indexado por objetos $Y\xrightarrow{g}FX$ de la categoría de la coma $(Y\downarrow G)$ son las componentes de un cono con vértice $HY\in\mathcal E$ sobre el diagrama $(Y\downarrow G)\xrightarrow{\Pi_G}\mathcal C\xrightarrow{F}\mathcal E$ donde $\Pi_G(Y\xrightarrow{g}FX)=X$ .

Además, para cualquier transformación natural $H_1\overset\phi\Rightarrow H_2\colon\mathcal D\to\mathcal E$ para que $H_1G\overset{\epsilon_1}\Rightarrow F\colon\mathcal C\to\mathcal E$ factores como $H_1G\overset{\phi G}\Rightarrow H_2G\overset{\epsilon_2}F\colon\mathcal C\to\mathcal E$ el morfismo $H_1Y\xrightarrow{\phi_Y}H_2Y$ es un morfismo entre los conos de $(Y\downarrow G)\xrightarrow{\Pi_G}\mathcal C\xrightarrow{F}\mathcal E$ . Se puede demostrar entonces que una condición suficiente para que exista la extensión correcta de Kan (es decir, la extensión derecha terminal) es que para cada objeto $Y\in\mathcal D$ el diagrama $(Y\downarrow G)\xrightarrow{\Pi_G}\mathcal C\xrightarrow{F}\mathcal E$ tiene un límite, en cuyo caso se da una extensión de Kan derecho eligiendo vértices de conos límites de los diagramas. Se puede decir que en esta situación la extensión Kan derecha es punto de vista porque sus valores en cualquier objeto acaban siendo computables como límites que no dependen de los valores de la extensión en otros puntos (los valores de las extensiones Kan puntuales a la izquierda son colímites análogos).

Esta condición de que existan los (co)límites de todos esos diagramas no es una condición necesaria para que exista la extensión de Kan, aproximadamente porque no se da el caso de que todo cono en $(Y\downarrow G)\xrightarrow{\Pi_G}\mathcal C\xrightarrow{F}\mathcal E$ surge necesariamente de alguna extensión de la derecha según la construcción anterior.

Sin embargo, en el caso de que $\mathcal E$ es localmente pequeño podemos caracterizar la extensión de Kan puntualmente utilizando el functor representable. Específicamente, cualquier extensión Kan puntual es preservada por cada functor representable $\mathcal E\xrightarrow{Hom_{\mathcal E}(-,Z)}\mathcal Set$ y, a la inversa, cualquier extensión de Kan preservada por cada functor representable es puntual. Así, la condición de que los (co)límites de todos esos diagramas existan es necesaria y suficiente para la existencia de extensiones Kan puntuales.