La intuición detrás de los hiperreales

Question

Sé que hay un número infinito de hiperreales. Pero ¿es cierto que sólo hay dos hiperreales con parte estándar igual a $0$ (el "finito" infinitesimal y el "infinito" hiperreal)?

Dicho de otro modo, ¿es erróneo considerar los hiperreales como un campo "generado" por $\mathbb{R} \cup \{\infty, 1/\infty\}$ por lo que todo número real $r \in \mathbb{R}$ se asocia con su sombra hiperreal $s = r + 1/\infty$ con $s \approx r$ ¿únicamente?

Answer 1

Sí, es completamente erróneo. Por ejemplo, si $\epsilon$ es cualquier infinitesimal positivo (es decir, un hiperreal positivo cuya parte estándar es $0$ ), entonces también lo es $\epsilon^2$ , y por supuesto $0<\epsilon^2<\epsilon$ Así que $\epsilon^2\ne\epsilon$ y $\epsilon^2$ es, por tanto, otro hiperreal cuya parte estándar es $0$ . Por eso, $\epsilon x$ es un infinitesimal positivo para cada número real estándar positivo $x$ y no hay dos de estos infinitesimales que sean iguales.

Answer 2

La redacción de tu pregunta sugiere que estás asumiendo que la parte estándar de un hiperreal infinito es igual a $0$ . Esto no es correcto. La función de la parte estándar sólo se define en el subring de ${}^\ast\mathbb{R}$ dados por hiperreales limitados (finitos). Así, la parte estándar de un hiperreal infinito (ilimitado) es indefinida.