Estoy trabajando en un tutorial para una clase de geometría diferencial. La pregunta es:
Consideremos las ecuaciones estructurales de un mapa $\bar x:\mathbb R^2\to\mathbb E^2$ . Supongamos que $\theta_1,\theta_2$ son en todas partes linealmente independientes. Demuestre que dado $\theta_1,\theta_2$ la forma de conexión $w_{12}$ está determinada de forma única por la primera ecuación de estructura.
Realmente no sé cómo hacerlo. Pero lo he intentado:
(1) Utilizando primero la segunda ecuación estructural: $$\begin{align}0&=dw+w\land w \\&=dw+\left(\begin{matrix}0&w_{12}\\-w_{12}&0\end{matrix}\right)\land\left(\begin{matrix}0&w_{12}\\-w_{12}&0\end{matrix}\right) \\&= dw \end{align}$$
Por lo tanto, sabemos que $w$ es una forma exacta.
(2) Ahora, utilizando la primera ecuación de la estructura: $$\begin{cases} \\d\theta_1+w_{12}\land\theta_2 =0 \\d\theta_2-w_{12}\land\theta_1 =0 \end{cases}$$ No estoy seguro de a dónde ir desde aquí. Sé que se trata de un sistema de ecuaciones y que puedo hacer operaciones de fila en ellas, pero también sé que $\theta_1,\theta_2$ son linealmente independientes, por lo que ninguna cantidad de operaciones de fila puede negar cualquiera de las $\theta s$ .
La notación es nueva para mí, así que es probable que me esté perdiendo algo trivial.
Cualquier ayuda sería estupenda, saludos.
