Dejemos que $Y = \lim_{t \to \infty} \mathbf{1}_{\{ X \le t\}}$ . Es $Y =\mathbf{1}_{\{ X < +\infty\}}$ o $Y = \mathbf{1}_{\{ X \le +\infty\}}$

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria con valores en $\mathbb R\cup \{\pm\infty\}$ . Considere el límite $$Y = \lim_{t \to \infty} \mathbf{1}_{\{ X \le t\}}$$

No estoy seguro de si $Y =\mathbf{1}_{\{ X < +\infty\}}$ o $Y = \mathbf{1}_{\{ X \le +\infty\}}$ .

¿Podría explicar cuál es la correcta? Muchas gracias.

Answer 1

En realidad, en la expresión final que buscas, no debería haber ningún límite en $t$ de una cantidad que no depende de $t$ . Toma $\omega\in\Omega$ . Si $X(\omega)<+\infty$ entonces $\mathbf{1}_{X\leqslant t}(\omega)=1$ cuando $t\geqslant X(\omega)$ por lo que $Y(\omega)=1$ . Si $X(\omega)=+\infty$ , entonces para todos los $t\in\mathbb R$ , $\mathbf{1}_{X\leqslant t}(\omega)= 0$ por lo que $Y(\omega)=0$ . Conclusión: $Y(\omega)=\mathbf{1}_{X<+\infty}$ .

Answer 2

$\lim_{t \to \infty} 1_{X\leq t} =1_{X<\infty}$ . Obsérvese que para cualquier número real $t$ $X\leq t$ implica $X <\infty$ .