¿Por qué la prueba no es correcta? ¿Todo número entero positivo puede escribirse como un producto de números primos?

Question

Aquí está mi prueba (no del libro de texto). Por favor, dígame si está mal.

PROOF:

Lo demuestro por contradicción, es decir, asumo que N es el menor número entero +ve que tiene un factor no primo p y un factor primo q

N = p * q

p = N \q

a partir de nuestras suposiciones, p es un entero, no es primo y se expresa como una fracción de 2 enteros.

Esto es una contradicción (cuando se sustituye p por el nuevo N). Por lo tanto, p es un primo y por lo tanto N es un producto de primos.

Answer 1

La prueba es incorrecta porque pretendes derivar una contradicción de $p$ no siendo una fracción de dos enteros. Sin embargo, $6=\frac{12}{2}$ no es primo, tiene denominador primo, y es una fracción de dos enteros, así que esto no es realmente una contradicción. (Aquí $p=6$ , $q=2$ y $N=12$ ).

Answer 2

Primero hay que tener en cuenta que $1$ es un número entero positivo que no puede expresarse como producto de primos.

Entonces, siguiendo eso, tenemos que ningún número primo puede ser expresado como producto de primos, ya que la única manera de facotr un primo $p$ es $p= p \times 1 = p \times 1 \times 1...$ . Siempre es un producto de 1 primo o un primo y cualquier cantidad de $1$ 's.

Así que lo que podrías querer probar es: Todo número positivo mayor que $1$ puede expresarse como un producto de 1 o más primos

Esto se puede escribir como $$\forall n \in \mathbb{N}, \exists \{p_1,p_2,...,p_m\}: n = p_1 p_2 ... p_m$$ donde $p_i \le p_{i+1} \ \ \ \forall 1 \le i \le m -1 $

Lo cual es cierto y se conoce como el Teorema Fundamental de la Aritmética

Además, esta factorización es única

Me guardo esta respuesta y vuelvo en una hora por si quieres que lo demuestre (o simplemente busca la prueba ya que está en todas partes)

Answer 3

El primer defecto es que, por def'n, $1$ no es primo por lo que se debe afirmar y demostrar que si $1<n\in \Bbb N$ entonces $n$ es un producto de primos.

El segundo defecto es suponer que si $1<n\in \Bbb N$ entonces $n$ tiene un factor primo $q.$ Aunque esto es cierto, hay que demostrarlo: Sea $q$ sea el menor factor (entero positivo) de $n$ que es mayor que $1.$ Así que $n=pq$ con $p\in \Bbb N.$ Entonces $q$ es primo. Porque, si no, entonces $q=q'q''$ donde $q',q'' \in \Bbb N$ con $q'>1<q'',$ pero entonces $q'$ es un factor de n (porque $n=q'\cdot pq''),$ pero $1<q'<q,$ una contradicción.

Después de esa parte, no estoy de acuerdo con algunos de los otros comentarios y digo que tienes razón, aunque debería presentarse con más detalle, de la siguiente manera: Supongamos (por contradicción) que hay un mínimo $n\in \Bbb N$ con $n>1$ donde $n$ no es primo y no es un producto de primos Entonces $n=pq$ donde $1<p\in \Bbb N$ y $q$ es primo. Como $p<n,$ o bien $p$ es primo, o (por la minimidad de $n$ ) $p$ es un producto de primos, pero en cualquier caso esto hace que $n=pq$ un producto de primos.

Puede evitar demostrarlo si $1<n\in \Bbb N$ entonces $n$ tiene un factor primo $q,$ y obtenerlo como corolario del resultado principal, como sigue: Supongamos (por ccontradicción) que existe un mínimo $n\in \Bbb N$ con $n>1$ donde $n$ no es primo y $n$ no es un producto de primos. Entonces $n=ab$ donde $a,b \in \Bbb N$ y $a>1<b.$ Desde $a<n>b,$ la minimización de $n$ implica que cada uno de $a,b$ es primo o producto de primos, pero entonces $n=ab$ es un producto de primos.