Necesito una pista sobre este problema. ABCD es un cuadrilátero inscrito. Las diagonales AC y BD se cruzan en el punto O. OP y OQ son las perpendiculares de O a BC y AD. M y N son los puntos medios de AB y CD. Demostrar que MN es la bisectriz de QP. 
Respuestas
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La bisectriz perpendicular nos sugiere que busquemos una bonita circunferencia que pase por $P$ y $Q$ .
El tercer punto más simétrico a elegir es $O$ y al observar la figura se observan propiedades adicionales:
Dejemos que $X$ sea la intersección de $AD$ y $BC$ y denotar por $\angle A$ etc los ángulos del cuadrilátero original.
Reclamación 1. $PQXO$ se encuentran en un círculo.
Sólo comprueba que $\angle OQX +\angle OPX = \pi/2+\pi/2=\pi.$
Reclamación 2. El centro $U$ de este círculo se encuentra en $MN$ .
$XO$ es el diámetro del círculo, por lo que $U$ es el punto medio de $XO$ .
Reclamación 3. $MN$ pasa por el punto medio de $PQ$
Los triángulos $BOC$ y $AOD$ son similares y $P$ y $Q$ son los pies correspondientes a las altitudes. Por lo tanto, $P=xB+yC$ y $Q=xA+yD$ para algunos números reales $x+y=1$ .
Ahora, $(P+Q)/2=x(A+B)/2 +y (C+D)/2 =xM+yN$ se encuentra claramente en la línea $MN$ como se ha reclamado.
Por lo tanto, la tarea restante es demostrar que los puntos medios de $AB$ , $CD$ y $XO$ son colineales. (Entonces la conexión del centro del ciclo $M$ con el punto medio de una cuerda es automáticamente perpendicular a la misma).
Dado que estos seis puntos son los puntos de un cuadrilátero completo, se trata del conocido teorema de que los puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero completo son colineales (véase por ejemplo http://mathworld.wolfram.com/CompleteQuadrilateral.html )
vps
Puntos
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No me he detenido en todos los detalles, pero podría demostrarlo alternativamente argumentando lo siguiente: $MN$ será una bisectriz perpendicular, si $\Delta QNP$ (o $\Delta QMP$ ) es isósceles Y $MN$ biseca $\angle QNP$ ( $\angle QMP$ ). Lo habrás demostrado demostrando que $\Delta QNM = \Delta PNM$ . Como estos triángulos tienen un lado común, basta con demostrar que sus otros lados son proporcionales entre sí. Para ello hay que demostrar que un par de triángulos más de la imagen son isométricos. El hecho de que $\angle ADC + \angle ABC =\angle DAB +\angle DCB = \pi$ que se deduce fácilmente del hecho de que el cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, debería servir de ayuda.
