¿Cómo se ha calculado la forma cerrada de esta suma de cuadrados alternativos?

Question

Estoy leyendo esta respuesta en socrático.org .

La cuestión es encontrar la forma cerrada de la suma $$1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+5^{2}-6^{2}+\ldots.$$

Entiendo que, si se suman los términos, la suma sería $$\sum_{n=1}^{N} n^{2}=1^{2}+2^{2}+\ldots+N^{2}.$$

La persona continúa diciendo que, si las series no fueran alternas, la suma sería

$$S=\frac{N(N+1)}{2}$$

¿Pero es eso correcto? Pensé que la suma de la primera $N$ cuadrados sería $$\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.$$

Por último, entiendo que el traslado de la $-1$ constante fuera de la suma como tal

$$=-\sum_{n=1}^{N}(-1)^{n} n^{2}$$

Pero me falta saber cómo se calculó la forma cerrada final

$$S_{N}=-\frac{(-1)^{N} N(N+1)}{2}$$

Answer 1

En efecto, es no es cierto que $\sum_{n=1}^Nn^2=\frac{N(N+1)}{2}$ para cada número entero positivo $N$ . Esto se puede comprobar fácilmente introduciendo cualquier valor $N\geq2$ . Por supuesto que es es cierto que $\sum_{n=1}^Nn=\frac{N(N+1)}{2}$ . Y tiene usted razón cuando dice que $$\sum_{n=1}^Nn^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.$$ Tenga en cuenta que si $N$ es incluso, digamos $N=2M$ entonces $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N(-1)^{n+1}n^2 &=&\sum_{n=1}^M\big((-1)^{2n}(2n-1)^2+(-1)^{2n+1}(2n)^2\big). \end{eqnarray*}$$ Por supuesto $(-1)^{2n}=1$ para todos $n$ , y de forma similar $(-1)^{2n+1}=-1$ . De ello se desprende que para todo $n$ tenemos $$\begin{eqnarray*} (-1)^{2n}(2n-1)^2+(-1)^{2n+1}(2n)^2 &=&(2n-1)^2-(2n)^2\\ &=&(4n^2-4n+1)-4n^2\\ &=&1-4n. \end{eqnarray*}$$ Esto demuestra que $$\sum_{n=1}^N(-1)^{n+1}n^2=\sum_{n=1}^M(1-4n).$$ A partir de aquí podemos utilizar el hecho de que $\sum_{n=1}^Mn=\frac{M(M+1)}{2}$ para encontrar que $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^M(1-4n)&=&M-4\sum_{n=1}^Mn\\ &=&M-4\cdot\frac{M(M+1)}{2}\\ &=&-2M^2-M\\ &=&-\frac{N(N+1)}{2}. \end{eqnarray*}$$ Eso demuestra el caso en el que $N$ es par. Si $N$ es impar, digamos $N=2M+1$ entonces $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N(-1)^{n+1}n^2 &=&\left(\sum_{n=1}^{2M}(-1)^{n+1}n^2\right)+N^2\\ &=&-\frac{(N-1)N}{2}+N^2\\ &=&\frac{N(N+1)}{2}. \end{eqnarray*}$$ Esto demuestra que, aunque el razonamiento es incorrecto, la conclusión sí se mantiene; que $$\sum_{n=1}^N(-1)^{n+1}n^2=-(-1)^N\frac{N(N+1)}{2}.$$

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Como alternativa, se puede observar que $$1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-\ldots=(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+\ldots)-2(2^2+4^2+8^2+10^2+\ldots).$$ Así que a partir de su observación de que $$\sum_{n=1}^Nn^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6},$$ se podría concluir que si $N$ es incluso, digamos $N=2M$ entonces $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N(-1)^{n+1}n^2 &=&\left(\sum_{n=1}^{2M}n^2\right)-2\left(\sum_{n=1}^M(2n)^2\right)\\ &=&\frac{2M(2M+1)(4M+1)}{6}-8\frac{M(M+1)(2M+1)}{6}\\ &=&\frac{-12M^2-6M}{6}\\ &=&-\frac{N(N+1)}{2}. \end{eqnarray*}$$

Answer 2

Sin analizar los casos impar y par, también podemos construir la fórmula de forma cerrada como sigue:

Utilizando la fórmula $S_n-S_{n-1}=a_n$ , donde $a_n=(-1)^{n+1}n^2$ y definir $S_n=(-1)^n\left(an^2+bn\right)$ entonces tenemos

$$\begin{align}S_n-S_{n-1}=(-1)^n(an^2+bn)+(-1)^{n}\left(a(n-1)^2+b(n-1)\right)=2a(-1)^nn^2-2n(a-b)+(a-b)=-(-1)^nn^2\end{align}$$

Esto implica,

$$a=b=-\frac 12$$

Esto significa,

$$\begin{align}\sum^{n}_{k=1} (-1)^{k+1}k^2 &=(-1)^n\left(-\frac 12n^2-\frac 12n\right)\\ &=\frac 12(-1)^{n+1}n(n+1).\end{align}$$

Answer 3

(Esta respuesta es una ampliación de mi comentario. Muestra un método alternativo para calcular la suma).

Si $n$ es par, entonces una forma fácil de calcular $1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(n-1)^2+n^2$ es considerar la diferencia entre cada par de términos: $$\begin{align} &1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(n-1)^2+n^2 \\[4pt] =&(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+\dots +((n-1)-n)((n-1)+n) \\[4pt] =&-1(1+2)-1(3+4)-\dots-1((n-1)+n) \\[4pt] =&-1(1+2+3+4+\dots+(n-1)+n) \\[4pt] =&-\frac{n(n+1)}{2} \end{align}$$ Si $n$ es impar, entonces $n-1$ es par, por lo que podemos utilizar la fórmula anterior: $$1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(n-2)^2+(n-1)^2=-\frac{(n-1)n}{2} \, .$$ Entonces, añadiendo $n^2$ a ambos lados, encontramos que $$1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(n-1)^2+n^2=\frac{n(n+1)}{2} \, .$$ Por lo tanto, independientemente de la paridad de $n$ , $$1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(n-1)^2+n^2=(-1)^{n+1}\cdot\frac{n(n+1)}{2} \, .$$

Answer 4

Una rápida intuición :

Si $N$ es impar

$\displaystyle S = -\sum_{n=1}^{N} (-1)^{n} n^2 = 1 + (-2^2 + 3^2) + ... + (-1)^{N+1}(-(N-1)^2 + N^2)$

Por lo tanto, $\displaystyle S = 1 + 5 + 9 + ... + (2N-1)$

Hay $\frac {N+1}{2}$ términos en la expresión anterior ( que es un A.P. en con diferencia común de cuatro ).

Así, $\displaystyle S_{N} = \frac {N+1}{2} \cdot \frac {2N-1+1}{2} = \frac {N(N+1)}{2}$

Del mismo modo, cuando $N$ es incluso entonces la suma hasta $N-1$ es $\displaystyle S_{N-1} = \frac {(N-1)N}{2}$

Añadir $-N^2$ a ella para conseguir $\displaystyle S_{N}$ cuando N es par : $\displaystyle S_{N} = \frac {(N-1)N}{2} - N^2 = -\frac {(N+1)N}{2}$

Espero que esto ayude, he editado los errores.