Cálculo de probabilidades por condicionamiento

Question

Dadas las variables aleatorias continuas $X$ y $Y$ Se asume por definición: $$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f_{XY}(x,y)}{f_X(x)}$$ $$P(Y\le y|X=x) = \int_{-\infty}^{y}f_{Y|X}(t|x)dt$$ En este contexto, la fórmula $P(g(X,Y)\le z|X=x) = P(g(x,Y)\le z|X=x)$ se utilizó con mucha libertad para calcular las probabilidades. Aunque está intuitivamente claro de dónde viene, no puedo dar una justificación formal de este paso usando la definición proporcionada. ¿Puede alguien ayudar?

Answer 1

Esto debería funcionar.

Por su definición no es difícil de conseguir: $$P[g(X,Y) ≤ z | X = x] = lim_nP[g(X,Y) ≤ z | x < X ≤ x+1/n]$$

Si $g(x,y)$ es continua con respecto a $x$ y $0 < X – x ≤ 1/n$ para cada $ε > 0$ existe $n_ε ∈ ℕ$ tal que: $$n ≥ n_ε ⇒ g(x,Y) - ε < g(X,Y) < g(x,Y) + ε ⇒ g(X,Y) - ε < g(x,Y) < g(X,Y) + ε.$$

Para $n ≥ n_ε$ puedes escribir: $$g(X,Y) ≤ z ⇒ g(x,Y) < g(X,Y) + ε ≤ z + ε ⇒ P[g(X,Y) ≤ z | x < X ≤ x+1/n] ≤ P[g(x,Y) ≤ z + ε | x < X ≤ x+1/n]$$ $$g(x,Y) ≤ z – ε ⇒ g(X,Y) < g(x,Y) + ε ≤ z ⇒ P[g(x,Y) ≤ z – ε | x < X ≤ x+1/n] ≤ P[g(X,Y) ≤ z | x < X ≤ x+1/n]$$

Tomando el límite para $n → ∞$ lo consigues: $$P[g(x,Y) ≤ z – ε | X = x] ≤ P[g(X,Y) ≤ z | X = x] ≤ P[g(x,Y) ≤ z + ε | X = x]$$

Ahora tomando el límite para $ε → 0$ y utilizando las leyes de continuidad para $P$ se obtiene el resultado deseado.