Dada una urna con $40$ bolas: $10$ blanco, $10$ negro, $10$ rojo, $10$ verde.

Question

Extraemos $2$ bolas (simultáneamente). ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea una bola blanca?

Answer 1

Mira el evento $X$ = no eliges una bola blanca.

Números de combinaciones para elegir dos bolas : $40 \choose 2 $

Número de combinaciones para elegir dos bolas que no sean blancas : $30 \choose 2 $

Por lo tanto, la probabilidad de escoger dos bolas no blancas es $$P(X)=\frac{30 \choose 2 }{40 \choose 2 }$$

Sabemos que $X^c$ = Usted escoge al menos una bola blanca, así $$P(X^c)=1-\frac{30 \choose 2 }{40 \choose 2 }$$

Answer 2

Resuelve contando:

• Directo : "Al menos un blanco" = ("Dos blancos") o ("Un blanco y un no blanco"): $$ \frac{\binom{10}{2}}{\binom{40}{2}}+\frac{\binom{10}{1}\binom{30}{1}}{\binom{40}{2}}=\frac{23}{52} $$ Dónde $P(X)=P(X_1\text{ or }X_2)=P(X_1)+P(X_2)$ desde $X_1,X_2$ son eventos disjuntos.

• Complemento: "Recoge $x\ge 1$ blanco" es lo contrario de "Pick $x\lt 1$ blanco (es decir, elegir $0$ blancos)": $$ 1-\frac{30 \choose 2 }{40 \choose 2 }=\frac{23}{52} $$ Dónde $P(X)=P(\text{not }X_0)=1-P(X_0)$ debido a $X_0$ siendo un complemento de $X$ .

Resuelve por árbol de probabilidad:

1. La probabilidad de que la primera bola sea blanca es $\frac{10}{40}$ y de no ser blanco es $\frac{30}{40}$ .

2. Si el primero es blanco, estamos acabados (no me importa el segundo pick porque ya tenemos al menos un blanco en este escenario). Si el primero no es blanco (y no olvidemos que tenemos $\frac{30}{40}$ posibilidad de encontrarnos en este escenario), ahora tenemos $\frac{10}{39}$ de que la segunda bola sea blanca (la primera selección sacó una bola no blanca). Resumiendo ambos escenarios: $$ \frac{10}{40}+\frac{30}{40}\cdot\frac{10}{39}=\frac{23}{52} $$