Un espacio de medidas donde $p < q$ y $L^p(\mu) \not\subset L^q(\mu) $ ?

Question

Estaba pensando en las inclusiones de diferentes $L^p$ espacios y llegó a esta pregunta.

Sé que la dirección inversa no es difícil: tomar el espacio $(1, \infty)$ con la medida de Lebesgue. Entonces, para cualquier $1 \leq p < q < \infty$ podemos demostrar que $L^q(\lambda) \not\subset L^p(\lambda)$ seleccionando $f = \frac{1}{x^p}$ . Esta función estará en $L^q$ pero no en $L^p$ y sigue la falta de inclusión.

Sin embargo, conseguir $L^p(\mu) \not\subset L^q(\mu) $ no me va bien. Supongo que tengo que encontrar un espacio de buena medida $(X, A, \mu)$ que lo haga posible. ¿Alguna sugerencia? Gracias.

Answer 1

Toma $(0,1)$ con medida de Lebesgue y considerar $x^{-1/q}$ .

También en tu ejemplo creo que quieres $x^{-1/p}$ en su lugar.

Answer 2

He aquí un hecho relevante que no es demasiado difícil de demostrar: Dado un espacio de medidas, sea $S=\{\mu(E): 0<\mu(E)<\infty\}$ . Entonces $L^p\subset L^q$ siempre que $p<q$ si y sólo si $\inf(S)>0$ , mientras que $L^p\subset L^q$ cuando $p>q$ si y sólo si $\sup(S)<\infty$ .

Así, por ejemplo, en $(0,1)$ con medida de Lebesgue $L^p\subset L^q$ si y sólo si $p\ge q$ mientras que si consideramos la medida de conteo en cualquier conjunto infinito entonces $L^p\subset L^q$ si y sólo si $p\le q$ . Y en la línea no $L^p$ está contenida en cualquier otra. (Manténgase en línea como va por ejemplo: Es obvio que $L^\infty((0,1))\subset L^1((0,1))$ y que $\ell_1\subset\ell_\infty$ .)