Cada extensión algebraica de un campo perfecto es separable y perfecto

Question

Estoy tratando de demostrar esta afirmación en el carácter $p>0$ de los casos.

Cada algebraicas extensión de un campo perfecto es separable y perfecto.

Esto se afirma como un corolario de la Proposición V. 6.11 en Lang.

Deje $k$ ser un campo y dejar a $K$ ser una extensión normal de $k$. Deje $G$ el grupo de automorfismos de a $K$ que arreglar $k$. Deje $K^G$ ser el campo fijo de $G$ actuando en $K$, e $K_0$ la máxima separables subextension de $K$. A continuación, $K^G$ es puramente inseparable sobre $k$, $K$ es separable sobre $K^G$, $K_0\cap K^G =k$ y $K_0K^G=K$.

Lang no escribir muchos detalles en la prueba de la excepción de que cada finito de extensión está contenida en una extensión normal.

Esto es lo que tengo hasta ahora. Supongamos, $k=k^p$. Deje $E$ ser una extensión algebraica de $k$. Deje $\alpha \in E$. Ahora, $\alpha$ está contenida en el campo, decir $K$ generado por las raíces del polinomio mínimo de a $\alpha$ $k$ (y es por lo tanto normal como es la división de campo de la polinomio mínimo de a $\alpha$). En este punto, no sé cómo proceder. Estoy tentado de usar la Frobenius mapa, pero no soluciona todos los elementos de la $k$ pesar de que se estabilizan en este caso perfecto. Todas las sugerencias serán apreciados. Gracias.

Answer 1

Supongamos que $k$ es de tipo char. $p$ y $x \mapsto x^p$ es surjective. Deje $\alpha$ ser un elemento de $\overline{k}$, con un mínimo de polinomio $f(x)$. A continuación, $f(x)$ es irreductible (por ser un polinomio mínimo). Podemos escribir $f(x) = g(x^{p^d}),$ donde $g$ es irreductible y separables y $d \geq 0$. Sin embargo, puesto que cada elemento de a $k$ $p^d$th el poder, por supuesto, podemos encontrar un polinomio $h(x)$ ($i$th coeficiente es el $p^d$th raíz de el $i$th coeficiente de $g$) tal que $g(x^{p^d}) = h(x)^{p^d}$.

Desde $g(x^{p^d})$ se supone que para ser irreductible, nos encontramos con que $p^d = 1$, es decir, que $d = 0$ y $f(x) = g(x)$ es separable.

En consecuencia, cada elemento algebraico sobre $k$ es separable, y así todos los algebraicas extensión de $k$ es separable. El hecho de que dicha extensión es perfecto también es fácil ver directamente: podemos suponer que es finito (desde cualquier extensión algebraica es una unión finita). Indicar la extensión por $l$, y supongamos que $[l:k] = d$. Entonces, ya que elevar a la $p$th poder es inyectiva, vemos que $[l^p:k^p] = d$. Ahora (y aquí es donde usamos la perfección de $k$) tenemos que $k^p = k$, y por lo $l^p$ contiene $k$ y $[l^p:k] = d$. Desde $l^p \subset l$, llegamos a la conclusión de que $[l:l^p] = 1$, es decir, que $l = l^p$.

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Recuerde el ejemplo básico de un no-perfecto extensión de campo es la extensión de $l = \mathbb F_p(t)$ $k = \mathbb F_p(t^p)$ . El polinomio mínimo del elemento $t$$k$$x^p - t^p$, por lo que en la notación de la anterior prueba $f(x) = x^p - t^p$ $g(x) = x - t^p$ . Ahora en este caso $t^p$ no $p$th potencia en $k$, y así que no se puede escribir $f(x)$ $p$th poder. Esto ilustra la manera exacta en que el argumento anterior se descompone en el no-ajuste perfecto.

De manera más general, esto demuestra que si $k$ no es perfecto, es decir, si existe $a \in k$ no $p$th poder, a continuación, $k[x]/(x^p - a)$ es puramente inseparable de la extensión de $k$, y, por tanto, $k$ admite algebraicas, pero no separables extensiones. (Por lo que la declaración original es un si y sólo si. Esto también le da otra prueba de que finito extensiones de un campo perfecto son perfectos,a saber: desde finito extensiones finitas de las extensiones son de nuevo finito extensiones, podemos ver que cualquier finito de extensión de una extensión finita $l$ de un campo perfecto $k$ es separable sobre $k$, por lo tanto separables $l$, y por lo tanto perfecto por el anterior comentario.)

Answer 2

Aquí es cómo la demanda de la siguiente manera a partir de Lang Proposición V. 6.11:

Supongamos $k=k^p$. Deje $E/k$ ser cualquier expresión algebraica de extensión, vamos a $\alpha\in E$, y deje $K/k$ ser finito extensión normal generado por $\alpha$ y sus conjugados (no necesariamente contenida dentro de $E$, por supuesto). Para demostrar que $E/k$ es separable, esto es suficiente para demostrar que $k(\alpha)/k$ es divisible por todos los $\alpha$, y para hacer esto es suficiente para demostrar que $K/k$ es divisible por todos los $\alpha$ (debido a $K\supseteq k(\alpha)$).
(Ya tenía esta parte :))

Deje $K/k$ ser nuestro finito extensión normal. Por la proposición, $K=K^GK_0$$K^G\cap K_0=k$, e $K^G/k$ es puramente inseparable, y $K_0/k$ es separable. Esto significa que por cada $\beta\in K^G$, el polinomio mínimo de a $\beta$ $k$ es de la forma $x^{p^n}-b$ algunos $b\in k$ (ver Lang definición puramente inseparable). Pero debido a que el Frobenius mapa es surjective en $k$, hay algunos $c\in k$ tal que $c^{p^n}=b$. Por lo tanto el polinomio mínimo de a $\beta$ es $$x^{p^n}-b=x^{p^n}-c^{p^n}=(x-c)^{p^n}$$ de modo que $\beta=c\in k$. Por lo tanto $K^G=k$, por lo que el $K=K^GK_0=K_0$ es separable sobre $k$.

EDIT: Ver a Matt E de la respuesta para una explicación de por qué $K$ es perfecto (y una de las más iluminadoras, análisis general de la situación de mi respuesta, sin duda).

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Original respuesta:
Tomo la definición de un campo perfecto para ser uno para que cada algebraicas extensión es separable.

Supongamos $K$ es un campo perfecto y $L/K$ es una extensión algebraica. Para cualquier extensión algebraica $F/L$, la extensión de $F/K$ es también algebraicas, por lo tanto separables porque $K$ es perfecto. Pero esto implica que $F/L$ es separable (porque para cualquier $\alpha\in F$,$\text{Irr}(\alpha,L)\mid \text{Irr}(\alpha,K)$, e $F/K$ separables $\implies$ $\text{Irr}(\alpha,K)$ no tiene raíces repetidas, lo que implica que $\text{Irr}(\alpha,L)$ no). Por lo tanto, cualquier extensión algebraica de $L$ es separable, por lo $L$ es perfecto. Finalmente, $L/K$ es separable, por supuesto, porque $K$ es perfecto.

Answer 3

Parte de la pregunta depende de cuál es su definición de un campo perfecto. Una de las definiciones comunes es que un campo es perfecto iff cada algebraicas campo de la extensión separable. En este caso la mitad de lo que se desea es verdadero por definición, y la otra mitad sigue fácilmente del hecho de que si $M/L$ es separable y $L/K$ es separable, entonces $M/K$ es separable. (Ver también Zev Chonoles la respuesta...)

Esto me hace pensar que usted está usando la otra definición común de un campo perfecto: es decir, un campo es perfecto iff ha característicos $0$ o ha característica positiva $p$ y el Frobenius endomorfismo $x \mapsto x^p$ es surjective. Que esta segunda definición tiene iff cada algebraicas extensión es separable se muestra en $\S 6.1$, la Proposición 36 de estas notas.