El espacio tangencial como el conjunto de todas las derivaciones

Question

Estoy tratando de entender el concepto de las derivaciones en un punto de una colector elaborando algunos ejemplos concretos.

Dejemos que $M$ sea una variedad suave con o sin límites, y sea $p \in M$ . Un mapa lineal $v : C^{\infty}(M) \to \mathbb{R}$ se llama derivación en $p$ si cumple con $$v(fg) = f(p)v(g) + g(p)v(f)$$

El conjunto de todas las derivaciones de $C^{\infty}(M)$ en $p$ se denota por $T_pM$ y es un espacio vectorial llamado espacio tangente a $M$ en $p$ .

Ahora veamos un ejemplo; del cálculo de una sola variable.

Toma $M = \mathbb{R}$ y $f(x) =\sin(x)$ y $p = \pi$ . Tenemos $f'(p) = \cos(p) = -1$ .

Ahora veamos la definición general anterior, y observemos que para cualquier $a \in \mathbb{R}^n$ El $n$ derivaciones $$\frac{\partial}{\partial x^i}|_{a} \ \text{ defined by } \ \frac{\partial}{\partial x^i}|_{a}f = \frac{\partial f}{\partial x^i}(a)$$ para $i \in \{1, .., n\}$ forman una base para $T_a(\mathbb{R}^n)$ y tiene la dimensión $n$ .

Así que elige $v \in T_p(\mathbb{R}^1)$ ya que $v$ es una combinación lineal de elementos de base en un espacio vectorial de dimensión $1$ tenemos $v = c \cdot \frac{\partial}{\partial x}|_{p}$ para algunos $c \in \mathbb{R}$ . Así que $v(f) = c \cdot \frac{\partial f}{\partial x}|_{p} = c\cdot \frac{d f}{d x}|_{p} = c\cdot cos(\pi) = -c$ para algunos $c \in \mathbb{R}$

Pero necesitamos $v(f) = -1$ para que el cálculo de la definición general y el cálculo habitual coincidan. ¿He hecho algo mal aquí? ¿No debería $v(f) = -1$ ?

Answer 1

Efectivamente, lo ha hecho todo correctamente.

Ha reconocido que $\frac{\partial}{\partial x}|_{p}$ era una base para el espacio tangente en $p$ y $\frac{\partial f}{\partial x}|_{p} = -1$

Un vector tangente arbitrario en $p$ es por lo tanto $v = c\frac{\partial}{\partial x}|_{p}$ para algunos $c$ por lo que por linealidad $v(f)= c\frac{\partial f}{\partial x}|_{p} = c(-1) = -c$ que es lo que has mostrado.

En otras palabras, has llegado a la conclusión correcta.