Diferencia entre la notación O pequeña y O grande en la expansión taylor

Question

Sé que puedo decir eso: $$ y(t+\Delta t)=y(t)+y'(t)\Delta t+o(\Delta t) $$

Pero puedo decir que: $$ y(t+\Delta t)=y(t)+y'(t)\Delta t+O((\Delta t)^2) $$

En ambos casos, ¿tengo que añadir que $\Delta t \rightarrow 0$ ¿o no tengo que hacerlo?

Answer 1

Sí, debe añadir $\Delta t \to 0$ para ser explícito, pero en general, $o(\Delta t)$ se entiende que se mantiene para $\Delta t \to 0$ Por lo tanto, creo que está bien no añadirlo, pero no hay nada malo en escribirlo.

A las dos anotaciones que das: Hablan de cosas diferentes. La primera es la definición de $y$ siendo diferenciable en $t$ si $$ y(t + \Delta t) = y(t) + y'(t)\Delta t + o(\Delta t), \qquad \Delta t \to 0$$ tenemos que $$ \frac{y(t+\Delta t) -y(t) -y'(t)\Delta t}{\Delta t} \to 0,\qquad \Delta t \to 0 $$ es decir $y(t+\Delta t) - y(t) - y'(t)\Delta t$ va a cero más rápido que el lineal. El segundo nos dice más sobre este término. No sólo la convergencia es más rápida que la lineal, sino que es cuadrática. Es decir, la segunda se mantiene si $$ \limsup_{\Delta t \to 0} \frac{y(t+\Delta t) -y(t) -y'(t)\Delta t}{\Delta t^2} < \infty $$ Considere $y(t) = t^{3/2}$ en $t = 0$ . Entonces $y'(0) = y(0) = 0$ . Por lo tanto, $$ y(0 + \Delta t) - y(0) - y'(0)\Delta t = (\Delta t)^{3/2} $$ que va a cero más rápido que el lineal, pero no el cuadrático.