Prueba Descomposición del tipo de aclaración de las álgebras de von Neumann

Question

Estoy leyendo una demostración del teorema de descomposición de tipos para las álgebras de von Neumann (en una suma directa de 3 álgebras de von Neumann que son a su vez de tipo 1,2,3)

Se construyen proyecciones máximas $p^1,p^2,p^3\in M$ para que $p^i$ es la mayor proyección central con $p^iM$ ser de tipo $i$ . Estas tres proyecciones se ven fácilmente como ortogonales entre sí. Ahora queda por demostrar que $1=p^1+p^2+p^3$ . Uno lo hace mostrando $q=1-p^1-p^2-p^3$ es la proyección nula.

El autor continúa mostrando que $qM$ no contiene ninguna proyección finita distinta de cero (por lo que $qM$ no puede ser de los tipos 1,2) y que tampoco puede ser del tipo 3. ¿Por qué eso implica que $q=0$ ?

No puedo dar una referencia ya que la fuente es una conferencia a la que asisto.

Answer 1

No puedo comentar sin ver sus notas. Se suele definir "tipo III" como "no tipo I ni II". Esto da, por la maximalidad de $p^1$ y $p^2$ , $p^3=1-p^1-p^2$ . Porque si $p^3$ no es $1$ entonces habría una parte de tipo I o II, contradiciendo la maximalidad.