Valor esperado de la primera coordenada de un vector muestreado uniformemente en una semiesfera

Question

Estoy buscando una manera de calcular lo siguiente: Definir $H$ para ser el hemisferio $H=\left\{ x\in S^{d-1} \mid x_1>0 \right\}$ ¿Qué es? $\mathbb{E}[x_1]$ cuando $x$ se muestrea uniformemente de $H$ ?

Otra forma de ver esto que puede ser más fácil para los ojos, es preguntar qué es $\mathbb{E}\left[ \mathbb{1}_{[x_1 > 0]} \cdot x_1\right]$ cuando $x$ se muestrea uniformemente de $S^{d-1}$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Consideremos primero cuándo $d=3$ y luego generalizaremos. Definir la función $f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ por

$$f(x,y,z) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2\pi}: \quad (x,y,z)\in H \\ 0: \quad \text{ else} \end{array} \right. $$

Entonces $f$ corresponde a la FDP del vector aleatorio $(X,Y,Z)\sim \mathcal{U}(H)$ . El valor esperado de $X$ es la integral de superficie $$\mathbb{E}(X)=\int_{H}xf(x,y,z)\mathrm{d}S$$ Podemos parametrizar $H$ por $$\vec{r}(u,v)=\Big<\sqrt{1-u^2-v^2},u,v\Big>:u^2+v^2<1$$ Observe cómo $$\mathrm{d}S=\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\|\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\frac{1}{\sqrt{1-u^2-v^2}}$$ Así que obtenemos $$\mathbb{E}(X)=\int_{\{u^2+v^2<1\}}\frac{\mathrm{d}u\mathrm{d}v}{2\pi}=\frac{\pi}{2\pi}=\frac{1}{2}$$ Esto se generaliza de la siguiente manera. Re $-$ definir $f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}$ por $$f(\vec{x}) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\Gamma(d/2)}{\pi^{d/2}}: \quad \vec{x}\in H \\ 0: \quad \text{ else} \end{array} \right. $$ Igual que antes, $f$ corresponde a un pdf asociado a $\vec{X}\sim \mathcal{U}(H)$ y tenemos que evaluar la integral de superficie $$\mathbb{E}(X_1)=\int_{H}x_1f(\vec{x})\mathrm{d}S_{d-1}$$ Invocando una parametrización similar $$\vec{r}(x_1,\ldots,x_{d-1})=\Big<\sqrt{1-x_1^2-\dots -x_{d-1}^2},x_1,\ldots,x_{d-1}\Big>$$ definida en el dominio $$x_1^2+\dots + x_{d-1}^2<1$$ lo conseguirás \begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X_1) & = & \frac{\Gamma(d/2)}{\pi^{d/2}}\int_{H}x_1\mathrm{d}S_{d-1} \\ & = & \frac{\Gamma(d/2)}{\pi^{d/2}}\int_{\{x_1^2+\dots +x_{d-1}^2<1\}}\mathrm{d}V_{d-1} \\ & = & \frac{\Gamma(d/2)}{\pi^{d/2}} \cdot \frac{\pi^{\frac{d-1}{2}}}{\Gamma\big(\frac{d+1}{2}\big)} \\ & = & \frac{\Gamma(d/2)}{\sqrt{\pi}\Gamma\big(\frac{d+1}{2}\big)} \end{eqnarray*}