Mapas "pequeños" de esfera a esfera

Question

Empezar con un mapa continuo $f:S^{n+k} \rightarrow S^n$ (esferas unitarias redondas). El gráfico de $f$ vive en $S^{n+k}\times S^n$ y supongamos que tiene una superficie (como subespacio de codimensión $n$ ). Ahora varía $f$ dentro de su clase de homotopía con el objetivo de reducir la superficie.

1) ¿Se obtiene siempre el límite inferior de la superficie?

2) ¿Hay ejemplos de elementos particulares en un $\pi_{n+k}(S^n)$ con límites no triviales conocidos de estas superficies? ¿Construcciones no triviales de mapas en una clase de homotopía que realicen el límite inferior?

3) También se puede asignar una superficie a una homotopía entre dos elementos de una determinada clase de homotopía. La minimización individual de las superficies de cada elemento en $\pi_{n+k}(S^n)$ muy probablemente tiene un coste cuando se trata de la geometría de las homotopías que surgen en la tabla de multiplicación de $\pi_{n+k}(S^n)$ . Como alternativa al escenario anterior, se podrían elegir representantes y homotopías para disminuir las superficies totales de todas las homotopías asociadas a entradas de la tabla de multiplicación de $\pi_{n+k}(S^n)$ . ¿Hay algún límite inferior no trivial disponible para esta historia (quizás cuando el grupo tiene orden 2)?

Answer 1

He aquí un ejemplo para demostrar que no siempre se alcanza el ínfimo:

Consideremos el mapa de Hopf estándar $\pi:S^3\to S^2$ que no es nulo-homotópico, por supuesto, por lo que se deduce que el área del gráfico en $S^3\times S^2$ de cualquier mapa diferenciable $f:S^3\to S^2$ que es homotópico a $\pi$ es estrictamente mayor que el área de la gráfica de un mapa constante, es decir, de $S^3\times\{c\}\subset S^3\times S^2$ , donde $c\in S^2$ es fijo, es decir, el volumen de $S^3$ .

Ahora, el cálculo muestra que, si $\phi_t:S^3\to S^3$ para $0<t\le 1$ es el $1$ -familia de mapas conformes que fijan un punto $p_0\in S^3$ y su antípoda $-p_0\in S^3$ que es la identidad de $t=1$ y se expande en $p_0$ por un factor de $1/t$ para $t\in (0,1]$ entonces el área de la gráfica de $f_t = \pi\circ\phi_t$ en $S^3\times S^2$ converge a la zona de $S^3\times\{\pi(p_0)\}\subset S^3\times S^2$ . De hecho, el gráfico de $f_t$ converge a $S^3\times\{\pi(p_0)\}$ fuera de un barrio abierto de $\{-p_0\}\times S^2$ .

En consecuencia, el ínfimo de las áreas de los gráficos de los mapas $f:S^3\to S^2$ en la clase de homotopía de $\pi$ es el volumen de $S^3$ pero este infimo no puede ser obtenido por nada en la clase de homotopía.

Nota: El gráfico de $\pi:S^3\to S^2$ en $S^3\times S^2$ es un submanifold mínimo, por supuesto, pero no es minimizador, es decir, es inestable.

Adenda: En realidad, resulta que este cálculo es sólo un caso especial de un fenómeno mucho más general. Dejemos que $\phi_t:S^{n+k}\to S^{n+k}$ para $0<t\le 1$ sea la dilatación conforme que se contrae a un punto fijo $p_0\in S^{n+k}$ cuyo diferencial en $p_0$ es $t$ veces la identidad en $T_{p_0}S^{n+k}$ . (En particular, $\phi_1$ es el mapa de identidad). Se tiene entonces el siguiente resultado:

Propuesta: Si $f:S^{n+k}\to S^n$ es cualquier $C^1$ -mapa y $k>0$ entonces las áreas de las gráficas de la familia homotópica $f_t = f\circ\phi_t$ en $S^{n+k}\times S^n$ convergen al volumen de $S^{n+k}$ como $t$ va a $0$ .

En particular, el mínimo del área del gráfico en cualquier clase de homotopía en $\pi_{n+k}(S^n)$ es el mismo cuando $k>0$ , es decir, el volumen de $S^{n+k}$ y esto sólo se puede conseguir para la clase de homotopía trivial.