Me he encontrado con un problema de límites que es el siguiente: $$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{1+ \tan x}\right)^{1/x^2}e^{1/x}$$ Traté de resolver el problema utilizando dos enfoques :
Enfoque 1 : $$\lim_{x\to 0}(\frac{1}{1+ \tan x})^{1/x^2}e^{x/x^2}$$ $$\lim_{x\to 0}[\frac{e^x}{1+ \tan x}]^{1/x^2}$$ Entonces como ahora se ha convertido en un límite de la forma 1 elevado a la potencia infinita , he utilizado la fórmula que es
Dado $$\lim_{x\to a} f(x) = 1$$ y $$\lim_{x\to a} g(x) = \infty$$ entonces $$\lim_{x\to a} f^{g} = e^{\lim_{x\to a}{(f-1)g}}\quad $$
Lo que me da
$$e^{(e^x-1-\tan x)/x^2(1+\tan x)}$$ Y luego usando la regla de L'Hôpital dos veces en el poder de $e$ , obtengo la respuesta $$e^{1/2}.$$
Enfoque 2:
$$\lim_{x\to 0}[\frac{1}{1+ \tan x}]^{1/x^2}e^{1/x}$$ Utilizo la fórmula de 1 elevado a la potencia infinita en el denominador lo que me da $$ e^{1/x}/e^{\tan x/x^2}$$
Sustituyendo $\tan x$ por $x$ La respuesta es la siguiente $1$ . Pero realmente no entiendo porque los dos enfoques me dan respuestas distintas. Creo que usar la fórmula de 1 elevado a la potencia infinita en el denominador en el segundo enfoque podría ser incorrecto, pero no estoy seguro en absoluto. Cualquier ayuda sobre esto será muy apreciada.
