Derivación de coordenadas cartesianas a partir de coordenadas cilíndricas

Question

La respuesta dada fue:

• $x = r \cos (\alpha)$
• $y = h$
• $z = -r \sin(\alpha)$

¿Podría alguien explicarme cómo se llega a la fórmula?

Probablemente me confundo con los ejes porque normalmente, el $Z$ El eje se dio como la profundidad o "altura" para las coordenadas cilíndricas. Incluso cuando los ejes giran, la fórmula no debería ser

• $x = r \cos(\alpha)$
• $y = r \sin(\alpha)$
• $z = z$

Perdona si esta pregunta parece elemental. Estoy muy confundido con las coordenadas 3D

Answer 1

Los hechos importantes de las coordenadas cilíndricas son:

1. Se necesita un eje para determinar la altura,
2. Las otras dos coordenadas se darán como distancia al origen y rotación alrededor de los otros planos.

Por lo tanto, la altura ("profundidad") no tiene que ser $z$ . Así es como yo lo haría:

La imagen sugiere que se utilice el $y$ como altura, por lo tanto $y=h$ . Necesitamos un punto en el $xz$ plano en coordenadas polares. En la imagen se puede ver que el vector tiene un positivo $x$ y un componente negativo $z$ por lo que realizamos $x = r \cos (\alpha)$ y $z = - r \sin (\alpha)$ .