Serie Maclaurin de: $ f(x) = {x + 5\over1-x^2}$ .

Question

Estoy tratando de conseguir la serie de Maclauren: $ f(x) = {x + 5\over1-x^2}$ .

Estoy seguro de que hay algún truco aquí, el resultado según Mathematica es:

$5 + x + 5x^2 + x^3 + 5x^4 + x^5 + 5x^6 + \ ...$

He definido:

$f^n_m = {x^n\over(1-x^2)^m}$

$f^n_m = 0$ para $n < 0 $ (sólo una definición necesaria para que la siguiente fórmula funcione para $n = 0$ )

He calculado:

$(f^n_m)' = nf^{n-1}_m + 2mf^{n+1}_{m+1}$ .

Tenemos $f(x) = f^1_1(x) + 5f^0_1(x)$

Intenté ir desde aquí, no probé la inducción ya que quiero ver cómo podría obtener este resultado sin asumirlo primero.

Si sigo tomando derivados obtengo más y más términos de la forma $f^s_r$ .
Pero no encontré el patrón, puedo ver que en la serie de Mclauren evaluamos las derivadas en 0 y por lo tanto sólo términos de la forma $f^0_r$ contribuir.

Intenté también simplemente tomar algunas derivadas por fuerza bruta y mirar el resultado, pero cada vez hay más términos y no puedo ignorar ninguno de ellos porque finalmente al diferenciar todos contribuirán en algún momento a la evaluación en 0.

Cualquier consejo será útil, pero me gustaría ver cómo he podido llegar al resultado, así que probarlo por inducción si supone el resultado no será de mucha ayuda.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Observe que todos sabemos lo siguiente

$$ \sum^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} $$

para $|x| < 1 $ . Ahora, aplicando esta

$$ \frac{1}{1 - x^2} = \sum x^{2n} \implies\frac{x+5}{1-x^2} = (x+5) \sum x^{2n} = \sum x^{2n + 1} + \sum 5x^{2n} =$$

$$ = 5 + x + 5x^2 + x^3 + 5x^4 + x^5 + 5x^6 + \ ... $$

Answer 2

Creo que haces el problema más difícil de lo que es. Realiza la división de 1 entre (1 - x^2). Como resultado, tienes 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^(2n). Ahora, multiplica por (x+5) y expande. Obtendrás lo que te dijo Mathematica. Fácil, ¿verdad?