Una base de Hamel para $\ell^p$ ?

Question

Estoy buscando un ejemplo explícito para una base de Hamel para $\ell^{p}$ ?. Como sabemos que para un espacio de Banach una base de Hamel tiene una cardinalidad finita o incontablemente infinita y para tal base se puede expresar cualquier elemento del espacio vectorial como una combinación lineal finita de estos. Después de intentarlo, no he podido escribirlo explícitamente. Una rápida búsqueda en Google no reveló nada útil, excepto la prueba de la incontabilidad de una base de Hamel infinita. Tal vez estoy siendo un poco tonto, pero no creo que la respuesta sea tan obvia como para una base de Schauder para el mismo caso.

Entonces, ¿cuál es un ejemplo explícito para una base de Hamel para $\ell^{p}$ ??

Answer 1

La existencia de una base Hamel para $\ell^p$ no puede demostrarse sin algún axioma de elección, lo que en términos modernos suele significar que no podemos escribirlo explícitamente.

Es consistente con ZF+DC (una forma débil del axioma de elección que es suficiente para hacer muchas de las matemáticas habituales) que todos los conjuntos de números reales tienen la propiedad Baire, y en dicho modelo tenemos que toda función lineal de $\ell^p$ a sí misma es continua.

También es cierto (en ZF) que $\ell^p$ es separable para $1\leq p<\infty$ . Es un hecho conocido que los endomorfismos continuos están determinados completamente por el conjunto denso contable.

Si existe una base de Hamel, su cardinalidad es al menos $\frak c$ (o más bien exactamente eso), y por lo tanto tiene $2^\frak c$ muchas permutaciones, cada una se extiende de forma única a un automorfismo lineal, que es continuo.

Ahora bien, tenga en cuenta que $\ell^p$ tiene tamaño $\leq\frak c$ ya que es un espacio métrico separable (y de nuevo, esto es de hecho $\frak c$ ) y por lo tanto sólo tiene $\frak c$ muchos continuo endomorfismos.

El teorema de Cantor nos dice que $2^\frak c\neq c$ y, por lo tanto, en el modelo de Shelah, en el que cada conjunto de números reales tiene la propiedad Baire, no existe una base de Hamel para $\ell^p$ .