Razonando que $\sin2x=2 \sin x \cos x$

Question

En matemáticas el profesor nos dijo que usáramos la fórmula $\sin2x=2 \sin x \cos x$ . ¿Qué matemáticas hay detrás de esta fórmula para que sea cierta? ¿Puede alguien explicarlo?

Answer 1

$$\color{red}{\sin 2x}=\color{blue}{2\sin x}\cos x$$

Answer 2

$$\sin(2x)=\mathrm{Im}(e^{2ix})=\mathrm{Im}(e^{ix}e^{ix})=\mathrm{Im}((\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x))=2\sin x\cos x$$

Answer 3

Suponiendo que ya conoces la fórmula de la suma de ángulos, esto es bastante fácil de conseguir:

$\sin(x + y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$ Así que

$\sin(2x) = \sin(x + x) = \sin(x)\cos(x) + \cos(x)\sin(x) = 2\sin(x)\cos(x)$ .

Edición: Si no quieres tomar la fórmula de la suma de ángulos para los senos como un hecho, ce La página de Wikipedia puede explicarlo mejor que yo, sobre todo porque tiene un diagrama.

Answer 4

Geométricamente, el área de un triángulo isósceles con vértice $2\alpha$ y la longitud de las piernas $1$ se puede calcular con una de las patas como base, entonces la altura es $\sin 2\alpha$ . Así que el área es $\frac12\sin 2\alpha$ .

Alternativamente, la base tiene una longitud $2\sin \alpha$ y la altura correspondiente es $\cos \alpha$ por lo que el área es $\frac12\cdot2\sin\alpha\cos\alpha$ .

Al equiparar ambos, se obtiene $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ .

Answer 5

Una matriz de rotación es claramente una transformación lineal, por lo que girando los vectores base elementales, se obtiene una matriz de rotación bidimensional para el ángulo $x$ es \begin{align} $$\begin{bmatrix} \cos(x) & -\sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{bmatrix}$$ . \Fin

Elevar al cuadrado esta matriz equivale a aplicar la rotación dos veces, por lo que $$\begin{align} \begin{bmatrix} \cos(2x) & -\sin(2x) \\ \sin(2x) & \cos(2x) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos^2(x) - \sin^2(x) & -2\sin(x)\cos(x) \\ 2\sin(x)\cos(x) & \cos^2(x) - \sin^2(x) \end{bmatrix} , \fin{align} lo que implica que \begin{align} \cos(2x) &= \cos^2(x) - \sin^2(x) \\ \sin(2x) &= 2\sin(x)\cos(x). \end{align}$$

Utilizando matrices de rotación con diferentes ángulos se obtienen algunas de las identidades de doble ángulo (o triple ángulo, etc.).