¿Cómo demostrar que el número $1!+2!+3!+...+n!$ nunca es cuadrado?

Question

¿Cómo demostrar que el número $1!+2!+3!+...+n! \ \forall n \geq 4$ nunca es cuadrado?

Me dijeron que contara las permutaciones, pero no puedo entender lo que estamos permutando.... ¡Gracias!

Answer 1

Los primeros casos se tratan fácilmente: $1!=1$ y $1!+2!+3!=9$ son cuadrados, mientras que $1!+2!=3$ no lo es.

Para $n \ge 4$, $1!+2!+3!+ \ldots + n!$ es congruente con 3 mod 5. Pero todos los cuadrados son congruentes con 0, 1 o 4 mod 5.

Answer 2

En primer lugar, solo es cierto para n > 3. En segundo lugar, no veo cómo hacerlo con permutaciones.

Pero la clave es considerar las clases de residuos mod 10. $ 1! + 2! + ... + n! $ es congruente con 3 u 8 mod 10, pero ningún cuadrado termina en 3 u 8.