Cálculo de la suma de potencias consecutivas de un número

Question

Aquí está mi problema, quiero calcular el $$\sum{i=0}^n P^i : P\in {>1}$$ Sé que puedo implementarlo usando una función recursiva fácil, pero como quiero usar la fórmula en una hoja de cálculo, ¿hay un mejor enfoque para esto?

Gracias.

Answer 1

Si llamamos a la suma $S_n$, entonces $$P \cdot Sn = P + P^2 + P^3 + \cdots + P^{n+1} = S{n} + (P^{n+1} - 1).$$

Resolviendo para $S_n$ encontramos: $$(P - 1) S_n = P^{n+1} - 1$$ and $$S_n = \frac{P^{n+1}-1}{P-1}$$ $

Esta es una suma parcial de una serie geométrica.

Answer 2

Tenemos $$\begin{array}{l} S_n&=1+P+P^2+P^3+\cdots+P^n\ P\cdot S_n&=0+P+P^2+P^3+\cdots+P^n+P^{n+1} \end{matriz}$$ Restando dos ecuaciones anteriores se obtienen $$S_n-P\cdot S_n=1-P^{n+1}$$ dividir por $S_n$ $$1-P=\dfrac{1-P^{n+1}}{S_n}\ S_n=\dfrac{1-P^{n+1}}{1-P}$$

Answer 3

Los elementos de su suma siguen una regla geométrica. Sucede que la suma de una serie geométrica tiene una fórmula simple (si $P$ no es $1$) :

$$\sum_{i=0}^n P^i = \dfrac{P^{n+1} -1}{P-1}$$

EDITAR: ¡Demostremos esto!

$(P-1)(P^n +P^{n-1}+...+1)= (P^{n+1} -P^n) +(P^n -P^{n-1})+(P^{n-1}-P^{n-2}) +...+(P-1) = P^{n+1} -1$

Tienes el resultado dividiendo ambos lados por $P-1$.

Answer 4

Esa es una serie geométrica. Hay términos $n+1$ a partir del primer término de $P^0 = 1$, y la suma está dada por $\displaystyle \frac{P^{n+1}-1}{P-1}$