Integral indefinida de $ \int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}} \,\text{d}x$ .

Question

¿Pueden dar algún tipo de pista o sugerencia sobre cómo encontrar la siguiente integral indefinida?

$$\int\frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\text{d}x$$

Intenté sustituirlo todo pero no funcionó. También intenté la sustitución trigonométrica pero no pude encontrar ninguna identidad trigonométrica válida para $ \sqrt{\cos^2(x)+1} $ o $ \sqrt{\sin^2(x)+1} $ .

Answer 1

Tenemos

$$\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}}\, dx = \int x \frac{(x^2 + 1) - 1}{\sqrt{x^2 + 1}}\, dx = \int x\sqrt{x^2 + 1}\, dx - \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\, dx.$$

Ahora utiliza el $u$ -sustitución $u = x^2 + 1$ para conseguir

$$\frac{1}{2}\int \sqrt{u}\, du - \frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{u}} =... $$

Answer 2

Sugerencia: Haga la sustitución $x^2+1=v^2$

La respuesta saldrá como $\left(\dfrac{v^3}{3}-v+C\right)$ donde C es la constante de integración.

Answer 3

$$ \int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}\Big(x\,dx\Big) = \frac 1 2 \int \frac{u}{\sqrt{u+1}} \, du = \frac 1 2 \int \frac{w^2-1}{w} \Big(2w\, dw\Big) = \cdots $$ ( $w=\sqrt{u+1}$ Así que $w^2-1=u$ y diferenciando ambos lados de la última igualdad obtenemos $2w\,dw=du$ .)