Demostrar que no hay ningún número natural entre dos números naturales consecutivos

Question

Quiero demostrarlo:

$x\subset S(x)$ donde $S$ es la función sucesora
y
$\not\exists z:x\subset z\subset S(x)$

Estos son resultados obvios, pero la relación de $m<n\iff m\in n$ se da como definición, esta definición podría aplicarse directamente, pero esta pregunta lo demuestra en cierto modo.

El $x\subset S(x)$ ¡es bastante fácil! La otra es más difícil.

Por cierto, la definición de $S(x)=x\cup \{x\}$

Mi razón para no escribir lo que tengo hasta ahora es que son toneladas de $\{$ y $\}$

Answer 1

$\def\s#1{\{#1\}}$ Lema . Si $x\subset z\subset x\cup \s y$ Entonces, o bien $z=x$ o $z=x\cup\s y$ .

1. Supongamos que $y \in z$ . Entonces $\s y\subset z$ y como $x\subset z$ entonces $x\cup\s y\subset z$ y hemos terminado.
2. O supongamos que $y\notin z$ . Entonces dejemos que $t\in z$ . Desde $z\subset x \cup \s y$ entonces $t\in x$ o $t\in \s y$ . Pero $y\notin z$ así que $t\ne y$ . Así que $t\in x$ Así que $z\subset x $ y hemos terminado.

Queremos demostrar que si $x\subset z \subset S(x)$ Entonces, o bien $z=x$ o $z = S(x)$ . Toma $y=x$ en el lema.

Answer 2

Si x $\subset$ z $\subset$ x $\cup$ {x} entonces z=z $\cap$ (x $\cup$ {x}) como z $\subset$ x $\cup$ {x} $\implies$ z=(z $\cap$ x) $\cup$ (z $\cap$ {x})=x $\cup$ (z $\cap$ {x}) como x $\subset$ z ahora z $\cap$ {x}={x} o $\emptyset$ entonces z $\cap$ {x}={x} $\implies$ z=S(x) y z $\cap$ {x}= $\emptyset$ $\implies$ z=x. Por tanto, no existe ningún conjunto que esté estrictamente entre x y S(x)

Answer 3

Supongamos que $n\in\mathbb{N}$ . Ahora, supongamos por contradicción que existe un $k\in\mathbb{N}$ tal que $n<k<s(n)$ . Desde $s(n)=n\cup\{n\}$ Esto significa que $n<k<n\cup\{n\}$ .

Desde $k<n\cup\{n\}$ Debemos tener $k\in n\cup\{n\}$ por definición. Dado que $k\in n\cup\{n\}$ , $k\in n$ o $k\in\{n\}$ . Consideramos cada caso por separado.

Si $k\in n$ entonces $k<n$ por definición. Sin embargo, esto contradice el hecho de que $<$ es asimétrico en $\mathbb{N}$ . Por lo tanto, no podemos tener $k\in n$ .

Si $k\in\{n\}$ entonces $k=n$ . Sin embargo, como $n<k$ y $k=n$ tenemos $n<n$ lo que contradice el hecho de que $<$ es irreflexivo en $\mathbb{N}$ . Por lo tanto, no podemos tener $k\in\{n\}$ o bien.

Debido a estas contradicciones, rechazamos nuestra suposición inicial y concluimos que no hay $k\in\mathbb{N}$ tal que $n<k<s(n)$ . $\Box$