Resolver $f'=\sqrt{|1-f|}$

Question

Encuentre todas las variables diferenciables de forma continua $f:[0,\infty)\to\mathbb R$ tal que $f'(x)=\sqrt{|1-f(x)|}$ .

Me despista un poco el valor absoluto dentro de la raíz cuadrada. Puedo resolver $f'=\sqrt{1-f}$ o $f'=\sqrt{f-1}$ fácilmente separando las variables, consiguiendo que $f$ es una determinada función cuadrática de $x$ . Sin embargo, no estoy seguro de qué hacer con la integral con el valor absoluto.

Answer 1

pista

$f(x)=1$ es la solución en $\Bbb R$ .

Busquemos otra solución que satisfaga $$(\exists a\in \Bbb R)\;:\; f(a)>1$$ $f $ es continua en $ a $ por lo que existe un intervalo $ J $ donde $ f(x)>1$ .

en este caso, la ecuación se convierte en $$\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)-1}}=\frac{1}{2}$$ que da por integración $$\sqrt{f(x)-1}=\frac{x}{2}+C$$ y $$f(x)=1+(\frac x2+C)^2$$

hacer lo mismo en el caso $ f(a)<1$ .