¿P (mañana es el fin del mundo) =?

Question

Aquí tenemos a $3$ profetas alfa, beta, gamma, todos ellos predicen que mañana es el fin del mundo. Se sabe que la exactitud de alpha y beta de predicción del es $90\%$, mientras que la de los rayos gamma del es $4\%$. ¿Cuál es la probabilidad de que mañana es el fin del mundo?

He aquí mis cálculos.

Deje $A, B, C$ ser alfa, beta y gamma de las predicciones.

P(mañana es el fin del mundo)

$= P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$

$= 0.9 + 0.9 + 0.04 - 0.81 - 0.036 - 0.036 + 0.0324$

$= 0.9904$

Pero esto parece un poco demasiado alto, es mi cálculo correcto? Gracias.

Answer 1

El cálculo es completamente falso. La fórmula del producto es sólo cierto para eventos independientes. Pero aquí los tres eventos están muy lejos de ser independiente: es el fin del mundo o no, por lo que están bien o están mal.

Vamos a tratar de poner en algunos de los supuestos que sean necesarios, y hacer un cálculo correcto con un enfoque Bayesiano. Supongamos que los tres profetas se les pide a predecir si un determinado evento $E$ va a tener lugar, y que el evento realmente ha probabilidad de $p$. Supongamos que cada vez que el profeta $\alpha$ se le pide hacer una predicción de este ordenar, su predicción es correcta con probabilidad de $0.9$ (es decir, si el evento ocurre, entonces, con probabilidad de $0.9$ predijo que iba a suceder, y si esto no sucede, entonces, con probabilidad de $0.9$ predijo que no). Asimismo, para $\beta$$\gamma$, con probabilidades de $0.9$ $0.04$ respectivamente. Por último, suponga que los cuatro eventos E, a = ($\alpha$ correcto), B = ($\beta$ correcto), C = ($\gamma$ correcto), son independientes.

La probabilidad de que el evento se llevará a cabo y los tres dicen que va a pasar es $p (0.9)^2 (0.04) = .0324 p$. La probabilidad de que el evento no ocurra, pero todos los tres dicen que va a pasar es $(1-p)(0.1)^2 (0.96) = .0096 (1-p)$. Así que la probabilidad condicional de que el evento ocurrirá, dado que los tres dicen lo que va a suceder, es

$$ \dfrac{.0324 p}{.0324 p + .0096 (1-p)}$$

En este caso, se me ocurre pensar que $p$ es muy pequeña, por lo que este es todavía muy pequeño: es de aproximadamente $3.375 p$.

Answer 2

Obtener 27/35, asumiendo independencia. Las dos posibilidades son que los tres son derecho (.9 *.9 *.04) o todas tres son incorrectos (.1 *.1 *.96. El anterior dividido por la suma da 27/35 o aproximadamente un 77,1%.

Si usted no asume independencia--por ejemplo, si beta dice cualquier alfa dice--usted no puede reducir el problema a un número sin más información.

Answer 3

Para mí, la forma más práctica para mirar la probabilidad de que un profeta de predicción es verdadera, es mirar la relación de los tiempos, cuando sus predicciones se hagan realidad durante los tiempos cuando sus predicciones no se hacen realidad: $$ \Lambda(A)=\frac{P(a\mid X)}{P(a\mid\neg X)} $$ La ampliación de las ideas en esta respuesta, y suponiendo que los profetas son independientes, tenemos que $$ O(W\mediados de los A\cap B\cap C)=\Lambda(A)\,\Lambda(B)\,\Lambda(C)\,O(W) $$ Donde $O(X)$ es la probabilidad de $X$ se define como $$ S(X)=\frac{P(X)}{1-P(X)} $$ Nos da que $$ \begin{align} \Lambda(A)=\frac{.9}{.1}&=9\\ \Lambda(B)=\frac{.9}{.1}&=9\\ \Lambda(C)=\frac{.04}{.96}&=\frac1{24}\\ \end{align} $$ Por lo tanto, la adición de la información de los profetas aumentaría las probabilidades por un factor de $\frac{81}{24}$: $$ O(W\mediados de los A\cap B\cap C)=\frac{27}{8}O(W) $$

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Esto coincide con Robert de Israel respuesta si se convierte a partir de las probabilidades de probabilidades: $$ \begin{align} P(W\mid A\cap B\cap C) &=\frac{\frac{27}{8}\frac{P(W)}{1-P(W)}}{\frac{27}{8}\frac{P(W)}{1-P(W)}+1}\\ &=\frac{27P(W)}{27P(W)+8(1-P(W))}\\ &=\frac{.0324P(W)}{.0324P(W)+.0096(1-P(W))} \end{align} $$