Demuestre que el límite $\lim_{n\to\infty}\frac{x}{x+n}=0$ para $x\geq 0$

Question

Esta prueba es mi primera prueba de conveniencia de series de funciones. No he visto en el libro ningún ejemplo que muestre cómo hacer la prueba. Lo hice basándome en la prueba de la secuencia de números. Por favor, compruebe mi prueba

Para $\epsilon >0$ debemos encontrar $N$ que $N\leq n$

$$ \frac{x}{x+n}<\frac{x}{n}$$

$$\frac{x}{n}<\epsilon $$

$$\frac{x}{\epsilon }<n$$

Elija $N\geq \frac{x}{\epsilon }$

Entonces $\frac{x}{x+n}<\frac{x}{n}\leq N< n$

Answer 1

Quieres encontrar, dado $\varepsilon>0$ , algunos $N$ tal que, para $n>N$ , $$ \left|\frac{x}{x+n}-0\right|<\varepsilon $$ Como $x\ge0$ la desigualdad se puede escribir $$ x<\epsilon x+\epsilon n $$ así que $$ n\ge\frac{x(1-\varepsilon)}{\varepsilon} $$ Tome el menor número entero positivo $N$ tal que $$ N>\frac{x(1-\varepsilon)}{\varepsilon} $$ y ya está.

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Su método para observar que $$ \frac{x}{x+n}\le \frac{x}{n} $$ es igual de bueno, pero deberías expresarlo mejor.