¿Cómo puedo demostrar que $x+1$ y $x^2+x+1$ son irreducibles en $\mathbb{R}[x]$ ?

Question

¿Cómo puedo demostrar que $x+1$ y $x^2+x+1$ son irreducibles en $\mathbb{R}[x]$ ?

Para $x+1$ No estoy seguro de que baste con decir $x+1$ tiene grado 1 por lo que es irreducible?

Answer 1

En cuanto a su primera pregunta:

Desde $x+1$ no puede expresarse como un producto de $g(x)h(x)$ donde $g(x),h(x)\in \mathbb{R[x]}$ ambos de menor grado que el grado de $x+1$ . Por lo tanto, $x+1$ es irreducible sobre $\mathbb{R}$ .

Ahora, para su segunda pregunta:

Desde $x^2+x+1$ no tiene ceros en $\mathbb{R}$ . Así, $x^2+x+1$ es irreducible sobre $\mathbb{R}$ para la factorización $x^2+x+1=(ax+b)(cx+d)$ para $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ daría lugar a ceros de $x^2+x+1$ en $\mathbb{R}$ .

Sin embargo, $x^2+x+1$ no es irreducible sobre $\mathbb{C}$ porque $x^2+x+1$ factores en $\mathbb{C}[x]$ en $(x+\frac{1+\sqrt3i}{2})(x+\frac{1-\sqrt3i}{2})$ .

Answer 2

Sí, para $x+1$ ¡ya que no se puede factorizar más! Ahora observe para el grado $2$ polinomio, es irreducible si y sólo si tiene una raíz . ¿Se puede encontrar en $x^{2}+x+1$ tienen una raíz en $\mathbb{R}$ ?