Prueba de hipótesis Anova de una vía

Question

Mi profesor hizo esta pregunta

Por qué es correcta la prueba de hipótesis

1. $H_0: \mu_1=\mu_2=\mu_3$

   $H_a:$ al menos uno diferente

   Y estas hipótesis erróneas

2. $H_0: \mu_1=\mu_2$

3. $H_0: \mu_2=\mu_3$ ,

4. $H_0: \mu_1=\mu_3$

Así que, básicamente, ¿por qué no podemos decir que si rechazamos 2, 3 y 4 entonces por qué no podemos rechazar 1 o si rechazamos 2, 3 o 4 entonces podemos rechazar 1? Básicamente quiere saber por qué debemos utilizar la primera prueba de hipótesis y no las tres últimas.

Answer 1

Digamos que usted utiliza una prueba bajo la cual tiene un $5\%$ posibilidad de rechazar $\mu_1=\mu_2$ dado que esa hipótesis nula es realmente cierta, y también tienes una $5\%$ posibilidad de rechazar $\mu_2=\mu_3$ Dado que eso es cierto, y usted tiene un $5\%$ posibilidad de rechazar $\mu_2=\mu_3$ dado que eso es cierto. ¿Cuál es, entonces, la probabilidad de que rechace al menos uno de esos, dado que los tres son verdaderos? Eso es más difícil de averiguar debido a la naturaleza de la dependencia entre las pruebas. No estoy seguro de cuál es la respuesta sin trabajar en los detalles, pero sé que es más que $5\%$ . Si quiere limitar su probabilidad de error de tipo I a $5\%$ cuando se realizan las pruebas $\mu_1=\mu_2=\mu_3$ no se puede hacer tratando esas tres hipótesis por separado y probando en el $5\%$ nivel cada vez. Posiblemente esa era la preocupación del profesor. (Pero tendría que saber más de lo que has dicho en tu pregunta para estar seguro de ello).

Answer 2

En el primer caso, se pregunta si los datos conducen a valores de $\mu_1,\mu_2,\mu_3$ demasiado lejos de la línea $x=y=z$ . En el segundo caso, se pregunta si están demasiado lejos de los tres planos $x=y,y=z$ y $x=z$ . El "nivel del 95%" tendrá formas diferentes en los dos casos, por lo que podría aceptar la hipótesis en un caso y rechazarla en el otro. Si los datos son extremos, se rechazarán ambos, pero nos interesan los casos límite.